×

Über isoliertwertige Funktionen. (German) JFM 36.0450.02

Die Arbeit enthält die Erledigung einer Frage, die von Weierstraß bei Gelegenheit des Wiederabdrucks seiner Abhandlung vom Jahre 1876 aufgeworfen worden ist. Es wird \(u=f(x)\) eine isoliertwertige Funktion genannt, wenn die Gesamtheit der Werte, die \(f(x)\) für einen nichtsingulären Wert \(x\) annimmt, eine isolierte Menge bildet, so daßalso eindeutige und endlichvieldeutige Funktionen unter den isoliertwertigen einbegriffen sind. Von diesen isoliertwertigen Funktionen werden folgende drei Sätze bewiesen: I. Eine Funktion \(u=f(x)\), die eindeutigen Gleichungen genügt, ist stets isoliertwertig. II. Jede isoliertwertige Funktion genügt eindeutigen Gleichungen. III. Die inverse Funktion einer isoliertwertigen Funktion ist selbst isoliertwertig. Mit diesen Sätzen ist die von Weierstraß aufgeworfene Frage dahin beantwortet: Der von Weierstraß für eindeutige oder endlichvieldeutige Funktionen bewiesene Satz gilt für alle Funktionen, die eindeutigen Gleichungen genügen, und nur für solche.
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Weierstraß, Werke Bd. II (1895), p. 55 ff.
[2] Abhandlungen aus der Funktionenlehre, Berlin 1886, Nr. 6.
[3] Siehe Werke II, p. 70.
[4] Journal f. d. r. u. a. Mathematik Bd. 13 (1834); Werke Bd. II, p. 23 ff. · ERAM 012.0441cj
[5] a. a. O. Journal f. d. r. u. a. Mathematik Bd. 13 (1834); Werke Bd. II, p. 43, 45. Vergl. meinen demnächst in der ”Bibliotheca Mathematica” erscheinenden historischen Aufsatz ”Über den Begriff der analytischen Funktion bei Jacobi”
[6] Rendiconti del Circolo mat di Palermo t. 2 (1888), p. 197.
[7] Rendiconti dell’ Accademia dei Lincei 4{\(\deg\)} serie, vol. 4, 2{\(\deg\)} semestre, 1888, p. 358, Teorema III, Corollario.
[8] Handbuch d. Theorie d. lin. Differentialgleichungen Bd. II, 1 (1896), p. 278.
[9] Vergl. das im Journal f. d. r. u. a. Mathematik, Bd. 110 (1892), p. 136 angegebene Beispiel.
[10] Vergl. Poincaré, Acta Mathem. Bd. I (1882), p. 198.
[11] Es sei gestattet, hier ein Versehen zu berichtigen, welches sich in meiner Arbeit, Journal f. d. r. u. a. Mathematik, Bd. 110, S. 134, Zeile 2 v. u. – S. 135, Zeile 3 findet, und auf welches die Herren Verfasser der ”Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen von Fricke und Klein” Bd. I (1897), S. 168, hingewiesen haben. Es sind a. a. O. S. 134, Zeile 2 v. u. die Worte ”stets endliche Anzahl” durch ”endliche Anzahl oder abzählbare Menge” zu ersetzen und demgemäß in der letzten Zeile und im folgenden an Stelle von ”L 1 ,L 2 ,...,L q ” einfach, ”L 1 ,L 2 ,... ” zu setzen. Die Ausführungen meiner Arbeit werden dadurch nicht beeinträchtigt.
[12] Comptes Rendus t. 92 (1881), p. 1335.
[13] Ein solcher Ausdruck {\(\Phi\)} k (x) kann (vergl. die im Journal f. d. r. u. a. Mathem. Bd. 110 angegebenen Beispiele) in verschiedenen Bereichen derx-Ebene verschiedene monogene Funktionen darstellen.
[14] Vergl. hierzu den von Herrn Poincaré, Comptes Rendus t. 96 (1883), p. 240 und Acta Mathematica Bd. 2 (1883), p. 113 ausgesprochenen Satz.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.