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Sur une équation aux dérivées partielles du type hyperbolique. Étude de l’intégrale près d’une frontière caractéristique. (French) JFM 36.0419.01

Verf. hat in seiner Thèse (Journ. de Math. (5) 10, 131-207; F. d. M. 35, 360, 1904, JFM 35.0360.01) eine Vereinfachung der Methoden Volterras zur Integration der Differentialgleichung \[ A(u) =\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} =0 \] zu geben gesucht. Insbesondere hat er dort gezeigt, daß, wenn die Fläche, die der Träger der gegebenen Werte von \(u\) ist, ein charakteristischer Kegel \(x^2+y^2 -z^2 =0\) ist, es genügt, die Werte von \(u\) auf diesem Kegel zu geben, wenn man den Wert \(u(x_0, y_0, z_0)\) des Integrals für einen Punkt \(A_0\) im Innern des gegebenen Kegels finden will. Besondere Schwierigkeit verursacht dabei die sogenannte “convergence à la frontière”, d. h. der Nachweis, daß, wenn \(A_0\) aus dem Innern des Kegels sich einem Punkte \(A_1\) gegebenen Werte \(u_1\) annähert. Dieses Konvergenzproblem nimmt der Verf. in der vorliegenden Arbeit wieder auf für den Fall, daßder auf dem charakteristischen Kegel gegebene Wert der Funktion \(u=\lambda^p\) ist; dabei bedeutet \(p\) eine ganze Zahl, während \(\lambda, \theta\) die Polarkoordinaten in der durch \(A_0\) gehenden Horizontalebene bedeuten, wenn der Anfangspunkt auf der Achse des Kegels liegt. – Am Schlusse wird dann gezeigt, daßman ohne Schwierigkeit an Stelle von \(\lambda_p\) den viel allgemeineren Ausdruck \[ u= \sum_0^\infty \varPhi_p(\theta) \lambda^p \] setzen kann.

Citations:

JFM 35.0360.01
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References:

[1] Sur les vibrations des corps élastiques isotropes [Acta Mathematica, t. XVIII (1894), pp. 161–232]. · JFM 25.1575.06
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