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Sur l’existence des racines de l’équation algébrique. (French) JFM 35.0111.01

Nouv. Ann. (4) 4, 484-491 (1904).
Eine ganze rationale Funktion \(n\)-ten Grades \(f(z)\) der komplexen Veränderlichen \(z = r({\cos} \varphi + i \; {\sin} \varphi ) \) mit komplexen Koeffizienten werde in der Form \[ f(z) = X (r, \varphi) + i \cdot Y (r, \varphi) = R({\cos}\theta + i {\sin} \theta) \] geschrieben.
Gibt man \(r\) zunächst einen konstanten Wert und läßt nur \(\varphi\) variieren, so beschreibt der Punkt \( (X, Y) \) in der komplexen Zahlenebene eine gewisse Kurve, und man erhält für die Änderung \( \vartheta \), welche \( \theta \) erfährt, während \( \varphi \) von 0 bis 2 \( \pi \) wächst, die folgenden Sätze:
1. Wenn \( r \) unterhalb einer gewissen, angebbaren Grenze liegt, ist \( \vartheta =0. \)
2. Wenn \( r \) oberhalb einer anderen, bestimmbaren Grenze liegt, ist \( \vartheta = 2n\pi.\)
3. Wenn es zwischen zwei Werten \(r_1\) und \(r_2\) von \(r\) keine Wurzel von \( f(z) = 0 \) gibt, so hat \( \vartheta \) für jedes \( r \) zwischen \( r_1 \) und \( r_2 \) denselben Wert.
4. Wenn zwischen \( r_1 \) und \( r_2 \) gerade eine Wurzel von \( f(z) = 0 \) liegt, so nimmt, während \(r\) von \( r_1 \) bis \(r_2 \) wächst, \(\vartheta\) um \(2\pi\) zu.
Aus diesen Sätzen folgt, daßjede Gleichung \(n\)-ten Grades \(n\) Wurzeln besitzt.
Full Text: EuDML