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Über die Brennpunkte, die Leitlinien und die Orthogonale einer ebenen algebraischen Kurve beliebiger Klasse. (German) JFM 34.0601.03

“Brennpunkte” einer Kurve \(m\)-ter Klasse \(C_m\) heißen bekanntlich diejenigen \(m^2\) Punkte, in denen die von den beiden unendlich fernen Kreispunkten an die Kurve gelegten Tangenten einander durchschneiden. Zu jedem Brennpunkt gehört als “Leitlinie” die Berührungssehne der beiden Tangenten, als deren Schnittpunkt er bestimmt wurde. Unter der “Orthogonale” versteht der Verf. den Ort der Scheitel der rechten Winkel, deren Schenkel die \(C_m\) berühren.
Von den Brennpunkten und Leitlinien sind im allgemeinen \(m\) reell, aber auch diese reellen sind zunächst als Schnittpunkte, bezw. Verbindungsgeraden imaginärer Elemente definiert. Diesen Durchgang durch das Imaginäre sucht der Verf. zu vermeiden, indem er z. B. die Brennpunkte als Schnittpunkte reeller Kurven erzeugt, deren Punkte wiederum als Schnitte reeller Linien erhalten werden. Dies gelingt ohne weiteres, wenn man sich auf die Tatsache stützt, daßbei einer algebraischen Kurve bekannter Ordnung, von welcher ein reelles Stück gezeichnet vorliegt, der ganze reelle Verlauf unter Benutzung dieses Stückes linear konstruiert werden kann. Denn man braucht hiernach nur irgendwelche reellen Stücke solcher algebraischer Kurven zu haben, welche durch die Brennpunkte hindurchgehen. Solche Kurvenstücke lassen sich aber leicht erhalten, z. B. indem man von den Punktepaaren, in denen ein Kreis durch die Geraden eines Parallelstrahlenbüschels geschnitten wird, die Tangenten an die \(C_m\) legt und ihre gegenseitigen Schnittpunkte ermittelt, deren Ort eine Kurve der verlangten Art ist. Man kann es, wie man sofort sieht, durch die Wahl des Kreises stets so einrichten, daßinnerhalb eines gewissen Intervalls wenigstens ein Teil der Tangenten reell ausfällt, und daher ein reelles Kurvenstück erhalten wird.
Da weder dieser Gedanke an sich, noch seine Durchführung im einzelnen und die sich daran anschließenden Betrachtungen theoretisch oder praktisch interessant erscheinen, so braucht auf eine ausführlichere Darstellung des Inhalts dieser Arbeit nicht eingegangen zu werden.
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Full Text: DOI Crelle EuDML