×

Zur Theorie der algebraischen Funktionen mit Bezugnahme auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen. (German) JFM 34.0356.02

Kronecker hat in der Abhandlung “Über die Diskriminante algebraischer Funktionen einer Variabeln” (J. für Math. \( 91\)) bei Untersuchungen über die ganzen algebraischen Funktionen gezeigt, daß zu jeder irreduktiblen ganzen algebraischen Funktion auch eine irreduktible ebenso verzweigte ganze algebraische Funktion existiert, deren Diskriminante neben dem “wesentlichen Teiler” als “außerwesentlichen Teiler” das Quadrat eines Polynoms enthält, dessen Linearfaktoren untereinander und von denen des wesentlichen Teilers verschieden sind (l. c. S. 326). In der vorliegenden Abhandlung handelt es sich darum, eine solche Kroneckersche algebraische Funktion tatsächlich herzustellen und rational durch diese und die unabhängige Variable die ursprünglich vorgelegte algebraische Funktion auszudrücken. Auf diese Aufgabe stößt man in der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit mehrwertigen algebraischen Koeffizienten (s. die Abh. d. Verf. J. für Math. \( 123\), 75). Um auf eine einfache Weise zur Darstellung einer Kroneckerschen Funktion zu gelangen, kann man zum Ausgangspunkte das in den Weierstraßschen Vorlesungen (s. den Bericht von Brill und Noether über die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in. Deutsch. Math.-Ver. \( 3\), 376) vorkommende Verfahren nehmen, rational aus der vorgelegten algebraischen Funktion und der unabhängigen Variablen Ausdrücke zu bilden, die in den Entwicklungen bei einem Punkte eine Anzahl beliebig gewählter Anfangsglieder haben. Zu solchen in geeigneter Weise bestimmten Ausdrücken wird ein anderer ganzer rationaler Ausdruck der ursprünglichen algebraischen Funktion und der unabhängigen Variablen addiert, über dessen Konstanten zu dem vorliegenden Zweck zu verfügen ist. – Vorausgesetzt werden die Reihenentwicklungen der gegebenen algebraischen Funktion an den Stellen, an denen die Diskriminante verschwindet. Die Theorie der linearen Differentialgleichungen gibt hierfür ein direktes Verfahren; vergl. die Abhandlungen des Verf. im J. für Math. \( 104\), Nr. 7; \( 108\), 112 und den Rückblick auf den Inhalt dieser Abhandlungen \( 122\), 21-22.
Die in dieser Abhandlung untersuchte Aufgabe aus der Theorie der algebraischen Funktionen ist in anderer Weise behandelt in dem Buche von Hensel und Landsberg (1902): Theorie der algebraischen Funktionen einer unabhängigen Variabeln S. 402-409.
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Crelle EuDML