×

The equilibrium of rotating liquid cylinders. (English) JFM 33.0741.02

Die angewandte Methode, welche auf Reihenentwicklungen beruht, eignet sich nur für zweidimensionale Probleme; sie ermöglicht die Ermittlung des Potentials durch Transformation der Gleichung der Grenzlinie, die in Polarkoordinaten \(r,\;\theta\) angesetzt wird: \[ r^2=a_0+2a_1r\cos\theta +2a_2r^2\cos 2\theta +\cdots. \] Durch die Substitution \(\xi = re^{i\theta}\), \(\eta = re^{-i\theta}\) und Auflösung nach \(\xi\) wird erhalten: \[ \xi =b_1+b_2\eta +b_3\eta^2+\cdots +\frac{c_1}{\eta}+\frac{c_2}{\eta^2}+\frac{c_3}{\eta^3}+\cdots. \] Die Bedingung für die Stabilität der Grenzkurve ist durch das System der Gleichungen \(b_n/n = a_n\) \((1-\omega^2/2\pi\varrho\)) gegeben (\(n = 1, 2, 3,\dots\)). Die lineare Reihe von Kreisen und Ellipsen (entsprechend den Maclaurinschen Sphäroiden und den Jacobischen Ellipsoiden) wird ohne Schwierigkeit untersucht, und die Gabelungspunkte auf diesen Reihen werden aufgefunden. Der erste Gabelungspunkt auf der zweiten Reihe erweist sich als Übergang zu einer birnförmigen Kurve, ähnlich der Poincaréschen Figur; in diesem Punkte findet ein Wechsel der Stabilität statt. Nach dem Durchgang durch verschiedene birnförmige Gestalten nimmt die Flüssigkeit die Gestalt “ähnlich einer Sodawasserflasche mit etwas abgerundetem Ende” an. Darüber hinaus wird bei steigender Rotationsgeschwindigkeit eine Konfiguration gefunden, die “an ein Tennisracket mit ganz kurzem Handgriff erinnert”, bis sich zuletzt die Kurve durch Einschnürung in zwei Teile trennt.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI