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Nuove ricerche sulle congruenze di rette del \(3^{\circ}\) ordine prive di linea singolare. (Italian) JFM 33.0685.02

Torino Mem. (2) 51, 1-79 (1902).
Die Kongruenzen dritter Ordnung ohne singuläre Linien haben eine endliche Anzahl singulärer Punkte und Ebenen. Ist \(n\) ihre Klasse, \(r\) ihr Rang, so nennt der Verf. (nach Vorschlag von Segre) “Schnittgeschlecht” (genere sezionale) die Zahl \(p = 2(n - 1) - r\): das Geschlecht der “ebenen” Schnitte der der Kongruenz in einem \(R_5\) entsprechenden “Oberfläche”. Den \(N\)-fachen Punkten dieser “Oberfläche” entsprechen \(N\)-fache Strahlen der Kongruenz. Die Punkte, deren drei Kongruenzstrahlen in einer Ebene liegen, bilden eine Fläche \((n-p-1)\)-ter Ordnung. Die Ebenen, in welchen drei Kongruenzstrahlen durch einen Punkt liegen, umhüllen eine Fläche \(\left\{\left( \begin{smallmatrix} n-1 \\ 3 \end{smallmatrix} \right) + (n + 2) (n -p-1)\right\}\)-ter Klasse. Der Verf. bestimmt noch die Zahl der Strahlentripel, deren Schnittpunkt einer gegebenen Ebene und deren Ebene einem gegebenen Bündel angehört. Er untersucht weiter das Schnittgeschlecht von Kongruenzen ohne \(N\)-fache Strahlen und die Abbildbarkeit der Kongruenzen dritter Ordnung auf elliptische Regelflächen. Zum Schlußwerden die rationalen Kongruenzen dritter Ordnung und diejenigen vom Schnittgeschlecht 0 bis 6 näher untersucht.