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Sulla riduzione all’ ordine minimo dei sistemi lineari di curve piane irriducibili di genere \(p\); in particolare per i valori 0, 1, 2 del genere. (Italian) JFM 33.0611.02

Eine wichtige Aufgabe in der Theorie der birationalen Transformationen besteht in der Aufsuchung der Kurven niedrigster Ordnung, denen eine gegebene Kurve birational äquivalent ist. Treten an die Stelle einzelner Kurven vollständige lineare Kurvensysteme, d. h. solche linearen Systeme, welche durch die Basispunkte in der Weise bestimmt sind, daßsie die Gesamtheit aller Kurven umfassen, welche jeden dieser Punkte in vorgeschriebener Vielfachheit enthalten, und handelt es sich darum, ein solches Kurvensystem durch ein-eindeutige Transformation auf eine möglichst niedrige Ordnung zu bringen, so sind statt der nur von Kurve zu Kurve eindeutigen Transformationen die Cremonaschen in Anwendung zu bringen, welche sich auf die ganze Ebene erstrecken. Die hauptsächlichsten Schwierigkeiten in diesen Untersuchungen bieten die besonderen Fälle, und erst nach und nach werden für die hierher gehörigen Sätze ausnahmslos gültige Beweise geliefert, wie z. B. erst Castelnuovo 1891 einen solchen für die Möglichkeit der Zusammensetzung jeder Cremonaschen Transformation aus quadratischen gab. Die gegenwärtige Arbeit schließt sich in diejenigen von Castelnuovo und C. Segre an.
Für die Untersuchung der irreduziblen linearen Kurvensysteme kommen außer der Ordnung \(n\) und dem Geschlechte \(p\) des Systems hauptsächlich in Betracht der Grad \(D\), die (wirkliche) Dimension (dimensione effettiva) \(K\), die virtuelle Dimension (dimensione virtuale) \(K\), ferner die Systeme der adjungierten Kurven der verschiedenen Indizes. Bezeichnen \(a_1, a_2,\dots ,a_{\varrho}\) die Anzahlen der einfachen, doppelten, …, \(\varrho\)-fachen Basispunkte des vorgelegten Kurvensystems, so berechnet sich der Grad \(D\): nach der Formel \(D = n^2 -\sum^{\varrho}_{t=1}t^2a_t\); er stellt die Anzahl der Schnittpunkte dar, welche zwei Kurven des linearen Systems, abgesehen von den Basispunkten, gemein haben. Da ferner \(\frac 12\,n(n+3)\) die Dimension des Systems aller Kurven \(n\)-ter Ordnung ist, die Bestimmung, einen gegebenen Punkt als \(t\)-fachen zu enthalten, \(=\frac 12 \,t(t + 1)\) Bedingungen zählt, so würde, falls die durch die vorgeschriebenen Vielfachheiten auferlegten Bedingungen von einander unabhängig wären, die Dimension des Kurvensystems durch den Ausdruck \(\frac 12\,n (n + 3) -\sum^{\varrho}_{t=1}\frac 12\, t (t + 1)a_t\) dargestellt werden. Die wirkliche Dimension kann jedoch auch größer sein als diese Zahl, welche der Verf. “virtuelle Dimension” nennt. Das Geschlecht \(p\) endlich wird durch die Formel \(p = \frac 12(n-1)(n-2)-\sum^{\varrho}_{t=1}\frac 12\,t(t-1)a_t\) gegeben. Als adjungierte Kurven vom Index \(j\) bezeichnet der Verf. diejenigen Kurven der Ordnung \(n-3j\), welche jeden \(r\)-fachen Basispunkt \((r-j)\)-mal enthalten. Die Anzahlen der Schnittpunkte, welche von den adjungierten Kurven der Indizes 1, 2, ... auf einer allgemeinen Systemkurve (von den Basispunkten abgesehen) ausgeschnitten werden, bilden eine Folge, in der jedes Glied um mindestens \(D - 2p+2\) (im algebraischen Sinne) kleiner ist als das vorhergehende. Aus diesem ersten Fundamentaltheorem ergibt sich eine Reihe wichtiger Folgerungen: {Daß} bei einem System vom Geschlechte 0 schon adjungierte Kurven vom Index 1 nicht mehr vorhanden sind, daßbei einem solchen vom Geschlechte 1 und einer Dimension \(\geqq 2\) eine einzige adjungierte Fundamentalkurve vom Index 1 existiert, während die mit höherem Index fehlen, daßendlich allgemein bei einem System vom Geschlechte \(p \leqq 1\), wenn es regulär ist, d. h. virtuelle und wirkliche Dimension übereinstimmen, adjungierte Kurven von größerem Index als \(\omega\) nicht existieren können, sobald \[ p-1+\frac{2p-1}{\omega}\leqq K \] oder, was auf dasselbe hinauskommt, \(\omega (D-2p+2) > 2p-2\) ist. Für die Untersuchung, ob ein lineares irreduzibles Kurvensystem durch Cremonasche Transformationen eine Erniedrigung des Grades erfahren kann, ist die Bestimmung des kleinsten Index, von welchem an keine adjungierten Kurven mehr existieren, von größter Wichtigkeit. Ist \(j\) dieser Index und die Ordnung des Systems durch Cremonasche Transformationen nicht mehr zu erniedrigen, so mußentweder \(n \leqq 3j-1\) sein, oder aber das System mußwenigstens einen Punkt besitzen, dessen Vielfachheit \(\geqq n-2j+1\) ist. Noch bestimmtere Bedingungen lassen sich angeben, falls man außerdem weiß, daßadjungierte Kurven vom Index \(j - 1\) existieren. Alsdann mußentweder \(2j - 3 \leqq n \leqq 3j - 1\) sein, oder es mußmindestens ein genau \((n - 2j + 1)\)- oder \((n - 2j + 2)\)-facher Punkt existieren. Auf Grund dieser allgemeinen Untersuchungen und solcher, welche sich ihnen unmittelbar anschließen, lassen sich die Kurvensysteme von kleiner Geschlechtszahl sehr übersichtlich behandeln. Unter den Systemen vom Geschlechte 0 sind von niedrigster Ordnung nur: die einzelne Gerade, der gewöhnliche Strahlenbüschel, das Netz aller Geraden der Ebene, die Kegelschnittsysteme ohne gemeinsame Punkte, die linearen Systeme von Kurven \(n\)-ter Ordnung \((n\geqq 2)\), welche einen \((n - 1)\)-fachen Basispunkt und eventuell noch andere einfache Basispunkte besitzen. Auf irgend eines dieser Systeme läßt sich also jedes System vom Geschlechte 0 transformieren, wobei in dem zuletzt angeführten Falle noch bezüglich der Basispunkte und ihrer Tangenten gewisse Bedingungen erfüllt werden können Bezüglich der Kurvensysteme vom Geschlechte 1 gilt, soweit ihre Dimension \(\geqq 2\) ist, der Satz, daßsie sich entweder auf lineare Systeme dritter Ordnung mit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 einfachen Basispunkten oder auf Systeme vierter Ordnung mit zwei doppelten Basispunkten reduzieren lassen. Der Fall eines Büschels von Kurven des Geschlechts 1 findet seine besondere Erledigung. Auch für \(p = 2\) hat der Verf. alle Systeme niedrigster Ordnung aufgestellt.

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References:

[1] Zur Theorie der eindeutigen Ebenentransformationen (Math. Annalen, Bd. V).
[2] Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano (Annali di Matematica, serie IIa, tomo VIII, 1877).
[3] Generalizazione di un teorema di Nöther;Sulla riduzione dei sistemi lineari di curve ellittiche, etc. (Rend. Circolo Matem, di Palermo, tomo I, 1886–87).
[4] Sui sistemi lineari di genere 1 (Rend. Ist. Lombardo, marzo 1887). -Sopra alcuni sistemi lineari di genere 2 (Rend. Circolo Matem, di Palermo, tomo I, 1886–87).
[5] Ricerche sui sistemi lineari (in due Note nei Rendic. dell’Ist. Lombardo, marzo 87 e maggio 88, e in due Memorie pubblicate nei tomi XV e XVI, serie IIa, degli Annali di Matematica). In modo speciale per quel che segue va citata la seconda di queste due ultime Memorie.
[6] Riduzione dei fasci di curve plane di genere 2 (Rendic. Circ. Matem, di Palermo, tomo XIII, 1898–99). - A questa si può collegare la breve NotaSulle reti sovrabbondanti di curve piane di genere 2, pubblicata dal sig.De Franchis nel 1899 nel medesimo volume, e diretta a completare la determinazione di queste reti fatta dal sig.Martinetti.
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