×

Sur les cycles des surfaces algebriques. (French) JFM 33.0500.01

Unter Cyklen auf einer Mannigfaltigkeit \(V\) versteht man solche geschlossenen Mannigfaltigkeiten auf \(V\), die keinen Teil von \(V\) vollständig begrenzen. Für die Theorie der algebraischen Flachen sind die 1-, 2- und 3-dimensionalen Cyklen von Wichtigkeit, die auf einer die Wertezuordnung darstellenden Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen liegen. Diese Frage wird vom Verf. mit den Methoden untersucht, die er in der Abhandlung über Analysis situs (Journ. de l’Éc. Polyt. (2) 1; F. d. M. 26, 541, 1895, JFM 26.0541.07) auseinandergesetzt hat. In der Einleitung werden zunächst noch einmal die Begriffe Kongruenz und Homologie erklärt. Eine Summe von Mannigfaltigkeiten, die einen Cyklus bilden, ist kongruent Null (geschlossen), aber nicht homolog Null (begrenzend). Es wird dann die 4-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit \(V\), die zu der Gleichung \(f (x,y,z) = 0\) gehört, in Polyeder eingeteilt. Zu jedem Werte von \(y\) gehört eine bestimmte Riemannsche Fläche, die im allgemeinen stets von demselben Geschlecht \(p\) ist. Die \(q\) singulären Punkte auf der \(y\)-Ebene werden mit einem nicht singulären Punkte durch Schnitte verbunden. Bewegt sich dann \(y\) in der also zerschnittenen Ebene, so wird die zugehörige Riemannsche Fläche sich selbst elementar-verwandt bleiben. Man teile die Riemannsche Fläche, die zu einem bestimmten Punkte gehört, polyedrisch ein. Jede Riemannsche Fläche wird entsprechend eingeteilt und die \(y\)-Ebene selbst als \(2q\)-seitiges Polygon aufgefaßt. Dadurch entsteht eine Einteilung von \(V\) in Überzellen, Zellen, Seitenflächen, Kanten und Ecken, die tabellarisch nach ihrer Entstehungsweise geordnet werden und zunächst allgemein hinsichtlich der Möglichkeit und Existenz von Homologien und Kongruenzen zwischen ihnen untersucht werden. In \(\S\) 2 werden die dreidimensionalen Cyklen untersucht und von ihnen wird folgendes (hauptsächlich mit Hülfe der Homologie = der Kongruenzen-Rechnung) bewiesen. Soviel invariante Cyklen die Picardsche Gruppe zuläßt, soviel von einander verschiedene dreidimensionale Cyklen gibt es. (Wenn \(y\) einen singulären Punkt umkreist, erleidet ein Cyklus der Riemannschen Fläche eine der substitutionen der Picardschen Gruppe; ein “cycle invariant” bleibt bei jeder solchen Umkreisung sich selbst homolog.) Auf Grund dieses Satzes kann man leicht die dreidimensionalen Cyklen veranschaulichen. In \(\S\) 3 wird von den zweidimensionalen Cyklen bewiesen: Es gibt zwei singuläre solche Cyklen, nämlich die Riemannsche Fläche für ein bestimmtes \(y\) und die Riemannsche Fläche für ein bestimmtes \(x\). Die übrigen erhält man durch Benutzung der “cycles évanouissants”; diese sind, wenn man von Flächen mit außerordentlichen Singularitäten absieht, von der Form \(\varGamma_i-\varGamma_i'\), wo \(\varGamma_i'\) der durch eine Picardsche Substitution transformierte Cyklus \(\varGamma_i\) ist. Das Problem der eindimensionalen Cyklen ist von Picard gelöst und wird vom Verf. im \(\S\) 4 mit seinen Hülfsmitteln behandelt. Unter anderem wird bewiesen, daßjeder derartige Cyklus in eine solche Lage gebracht werden kann, daßer auf der zu einem Werte von \(y\) gehörenden Riemannschen Fläche liegt. Es wird untersucht, welche von diesen Cyklen für unsere Mannigfaltigkeit nicht homolog sind, was auf den Begriff des “cycle subsistants” führt. Im allgemeinen ist die Anzahl der “cycles subsistants” nach einem allgemeinen Theorem der Analysis situs gleich der Anzahl der “cycles invariants”, was verifiziert wird. In \(\S\) 5 werden einzelne Punkte, die im Texte als plausibel zu den Beweisen benutzt wurden, näher begründet.

Citations:

JFM 26.0541.07
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML