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Sur les équations de l’hydrodynamique. Commentaire à un Mémoire de Clebsch. (French) JFM 32.0756.01

Die Abhandlung von Clebsch, um welche es sich handelt, ist die wohlbekannte Arbeit: “Über eine allgemeine Transformation der hydrodynamischen Gleichungen” (J. für Math. 54, 293-312, 1857). Die betreffende Transformation beruht auf der Ermittlung dreier ersten Integrale der Lagrangeschen Gleichungen, und zwar werden diese Integrale durch die Anwendung der Jacobischen Methode auf ein kanonisches System erhalten.
In der Meinung, daßdiese Abhandlung Jacobis nicht die ihr zukommende Berücksichtigung finde, hat der Verf. es für nützlich erachtet, eine Art Kommentar zu ihr zu geben. Derselbe enthält eine direkte und ganz elementare Rechtfertigung der Jacobischen Methode zur Integration der kanonischen Gleichungen der Dynamik. Der behandelte Fall entspricht zwar der Bewegung eines Systems, das nur von einem einzigen Parameter abhängt; allein die Beweisführung ließe sich mühelos auf den Fall ausdehnen, bei welchem die Anzahl der Parameter beliebig ist. Ferner werden die Relationen aufgestellt, welche zwischen den von Clebsch ermittelten Integralen und den vor ihm von Cauchy erhaltenen Integralen bestehen. Die Einsicht in das Wesen dieser Relationen hat es dann endlich dem Verf. ermöglicht, die von Clebsch gewonnenen Sätze aufzustellen, ohne von dem Jacobischen Satze über die Integration der kanonischen Gleichungen Gebrauch zu machen. Die betreffende Abhandlung von Cauchy ist betitelt: “Théorie de la propagation des ondes à la surface d’un fluide pesant d’une profondeur indéfinie” [Mém. Sav. étr. 1. 1827; Oeuvres de Cauchy (1) 1, 40, formule (16)]. Die betreffen Gleichungen findet man in Kirchhoffs Mechanik, Vorlesung 15, Gleichungen (15), wo sie zur Herleitung der grundlegenden Sätze der Wirbelbewegung nach einer von Helmholtz abweichenden Methode benutzt sind.

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Full Text: DOI Numdam EuDML