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Le transformazioni generatrici del gruppo Cremoniano nel piano. (Italian) JFM 32.0675.03

Um 1870 haben Clifford, Rosanes und Noether unabhängig entdeckt, daß“jede Cremonasche Transformation als das Produkt einer endlichen Anzahl quadratischer Verwandtschaften angesehen werden kann”; besonders Noether erforschte die Frage gründlich, indem er die Transformationen eingehend studierte, welche unendlich nahe Fundamentalpunkte besitzen. Gegenwärtig kommt Segre (siehe JFM 32.0675.02) durch eine wiederholte Untersuchung über die Noethersche Beweismethode und ihre Anwendungen und Folgen zu den folgenden höchst wichtigen Schlüssen: “Es ist noch nicht vollkommen bewiesen, daßjede Cremonasche Transformation durch eine Folge quadratischer ersetzbar sei; es ist auch noch nicht vollkommen bewiesen, daßdie Reduktion auf bestimmte Typen, welche Bertini, Guccia, Martinetti, Jung u. s. w. für die linearen .Kurvensysteme aufgestellt haben, immer ausführbar sei”. Diese Bemerkungen lassen die folgende Frage entstehen: Kann man etwa jede Cremonasche Transformation als Produkt anderer besonderer bestimmten eindeutigen Verwandtschaften darstellen, z. B. als Produkt einer endlichen Anzahl Jonquièresscher Transformationen? Dieses ist die Frage, welche Castelnuovo sich stellt und bejahend beantwortet. Nach den Resultaten seiner feinen Analyse kann also jede Cremonasche Transformation in eine endliche Folge Jonquièresscher Transformationen aufgelöst werden. Nun aber ist “jede Jonquièressche Transformation äquivalent einer endlichen Anzahl quadratischer”; dies ist ein Theorem, das Segre in einer Note zu Castelnuovos Aufsatz synthetisch beweist, während Castelnuovo es sehr einfach in demselben analytisch herleitet. Infolge dessen gilt daher der Clifford-Rosanes-Noethersche Lehrsatz ausnahmslos. Mithin ist die Befürchtung grundlos, welche die scharfsinnigen Bemerkungen Segres hervorrief, daßviele Resultate der modernen geometrischen Forschung gewisser Beschränkungen bedürfen, oder mindestens viele Beweise einer gründlichen Revision unterzogen werden müßten.

Citations:

JFM 32.0675.02
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