Severi, F. Intorno ai punti doppi impropri di una superficie generale dello spazio a quattro dimensioni, e a’suoi punti tripli apparenti. (Italian) JFM 32.0648.04 Palermo Rend. 15, 33-51 (1901). Eine Fläche \(F\) des vierdimensionalen Raumes \(R_4\) ist eine allgemeine Fläche, wenn sie von jedem Punkte von \(R_4\) auf \(R_3\) in eine Fläche projiziert wird, welche nur gewöhnliche Singularitäten besitzt (d. h. eine Doppellinie mit einer endlichen Zahl dreifacher Punkte). Bekanntlich kann \(F\) immer als die Projektion einer Fläche \(\varPhi\) von \(R_r (r>4)\), welche keinen Doppelpunkt besitzt, angesehen werden, wo \(r\) eine hinreichend große Zahl und der Projektionsraum \(R_{r-5}\) ein beliebiger ist. Nun geht durch \(R_{r-5}\) eine endliche Anzahl \(d\) von Sehnen der \(\varPhi\); jede von ihnen entspricht einem uneigentlichen Doppelpunkte von \(F\) und einem scheinbaren Doppelpunkte von \(\varPhi\). Bezeichnet man durch \(n\) die Ordnung von \(F\) durch \(a\) den Rang eines Raumschnittes derselben und durch \(j\) die Zahl der Tangenten von \(F\), welche durch einen beliebigen Punkt gehen, so findet der Verf. zuerst \[ d= \tfrac 12 [n(n-1) -a-j]. \] Projiziert man \(F\) auf den gewöhnlichen Raum, so bekommt man eine Fläche \(F'\) der Ordnung \(n\), der Klasse \(n'\) und des Ranges \(a\), welche eine Doppelkurve der Ordnung \(b\) und des Ranges \(q\) enthält, auf der sich \(t\) dreifache Punkte und \(j\) Kuspidalpunkte den Fläche befinden. Alle diese Zahlen sind durch die folgenden Gleichungen mit einander verbunden: \[ \begin{aligned} n(n-1) & = a+2b,\\ j & = \tfrac 14 [a(3n-4) - n(n-1) (n-2) + 6t -2n'],\\ q & = \tfrac 18 [5n(n-1) (n-2) - (7n-12)a - 30t + 2n'].\end{aligned} \] Daraus folgt, daßdie Formeln der Nr. 8 des posthumen Fragmentes Caporalis: Sullo spazio a quattro dimensioni (Memorie di geometria, Neapel 1888, S. 321) nur eine beschränkte Geltung haben. Zu bemerken ist auch, daßdie vier Zahlen \(n, a, n', t\) alle notwendig sind, um eine allgemeine Fläche \(R_4\) zu charakterisieren. Ein uneigentlicher Doppelpunkt von \(F\) ist zweiter oder erster Spezies, je nachdem die zwei bezüglichen Berührungsebenen in einem oder in keinem \(R_3\) sich befinden. Eine Fläche, welche uneigentliche Doppelpunkte zweiter Spezies besitzt, kann immer durch birationale Transformationen in eine andere transformiert werden, welche nur mit uneigentlichen Doppelpunkten erster Spezies versehen ist. Eine Berührungsebene der betrachteten Fläche \(F\) \(n\)-ter Ordnung in einem uneigentlichen Doppelpunkte schneidet dieselbe in \(n-5\) oder in \(n-6\) anderen Punkten, je nachdem der Doppelpunkt erster oder zweiter Spezies ist. Die Veronesesche Fläche ist die einzige des \(R_5\), welche keinen scheinbaren Doppelpunkt besitzt; solche mit einem scheinbaren Doppelpunkte hat man zwei: nämlich die rationale normale Regelfläche vierter Ordnung und die Fläche fünfter Ordnung, welche auf der Ebene durch die \(\infty^5\) kubischen Kurven dargestellt wird, welche vier Punkte gemeinschaftlich haben. Durch jeden Punkt \(O\) des \(R_4\) geht im allgemeinen eine endliche Zahl dreimal schneidender Geraden von \(F\); dieselbe ist die Zahl der scheinbaren dreifachen Punkte von \(F\) aus \(O\) gesehen vorausgesetzt. Aber in \(R_4\) existieren Flächen jeder Ordnung, von denen jede keinen scheinbaren dreifachen Punkt besitzt. Die analoge Frage, d. h. die Bestimmung der Flächen, von denen jede einen scheinbaren dreifachen Punkt besitzt, wurde schon durch Ascione behandelt (vgl. F. d. M. 28, 593, 1897, JFM 28.0593.03). Seine Untersuchungsmethode ist aber nicht einwandsfrei, und seineSchlüsse sind nicht ganz richtig. Der Verf. gelangt nämlich zu folgenden Sätzen: “Die einzigen Flächen von \(R_4\), jede mit einem scheinbaren dreifachen Punkte, sind: a) Die Projektion der Veroneseschen Fläche; b) die rationale Fläche fünfter Ordnung, Projektion der nichtgeradlinigen \(F^5\) von \(R_5\); c) die \(F^5\), Projektion der geradlinigen normalen Fläche von \(R_6\); d) die \(F^6\), deren Schnitte Kurven der Ordnung 6 und des Geschlechtes 3 sind.” – Bezüglich anderer, minder wichtiger, wenn auch bemerkenswerter Sätze der inlhaltsreichen Abhandlung wird der Leser auf die Originalarbeit selbst verwiesen. Reviewer: Loria, Prof. (Genua) Cited in 7 ReviewsCited in 72 Documents JFM Section:Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. E) Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen. Citations:JFM 28.0593.03 PDFBibTeX XMLCite \textit{F. Severi}, Rend. Circ. Mat. Palermo 15, 33--51 (1901; JFM 32.0648.04) Full Text: DOI