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Concours d’admission à l’École Polytechnique en 1900. Composition de Mathématiques. (French) JFM 31.0623.03

Nouv. Ann. (3) 19, 320-334 (1900).
I. Um in der Ebene \((P)\) eines ebenen Schnittes einer Oberfläche \((E)\) die von einem Punkte \(O\) an den Schnitt gehenden Normalen zu finden, wird folgende Methode angewandt: Man schneide \((E)\) durch eine um \(O\) gelegte Kugel \((S)\) und bestimme den Radius \(r\) dieser Kugel so, dass die Ebene \((P)\) den Kegel \((C)\) berührt, der den Scheitel \(O\) hat, und dessen Leitlinie die Schnittcurve \((E,S)\) ist. Die Berührungsgeneratrix \(OG\) ist dann Normale an den ebenen Schnitt im Punkte \(G\), in welchem sie der Leitlinie \((E,S)\) des Kegels \((C)\) begegnet. Dies wird nachgewiesen.
II. Anwendung hiervon: Das Ellipsoid \((E)\) mit der üblichen Gleichung wird von der Ebene \((P)\), deren Gleichung \(ux+vy+wz=0\), geschnitten. Auf dem zu \((P)\) senkrechten Durchmesser trägt man vom Centrum aus eine Länge \(OM\) ab, so dass \(2/OM^2 = 1/\alpha^2 + 1/\beta^2\), wo \(\alpha\), \(\beta\) die Halbaxen des ebenen Schnittes \((E,P)\) sind. Wenn nun \(P\) alle möglichen Lagen hat, dabei aber immer durch \(O\) geht, so beschreibt der Punkt \(M\) das Ellipsoid: \[ \frac{x^2}2\left(\frac1{b^2} + \frac1{c^2}\right) + \frac{y^2}2\left(\frac1{c^2} + \frac1{a^2}\right) + \frac{z^2}2\left(\frac1{a^2} + \frac1{b^2}\right) = 1. \] III. Die analoge Aufgabe wird gelöst, wenn auf dem zur Ebene \((P)\) senkrechten Durchmesser von \(O\) eine Länge \(ON\) abgetragen wird, für welche \(1/ON=1/\alpha - 1/\beta\). Der Ort des Punktes \(N\) wird in diesem Falle die Fläche des vierten Grades: \[ \begin{split} \left[1 - x^2\left(\frac1{b^2} + \frac1{c^2}\right) - y^2\left(\frac1{c^2} + \frac1{a^2}\right) - z^2\left(\frac1{a^2} + \frac1{b^2}\right)\right]^2\\ = 4(x^2 + y^2 + z^2)\left(\frac{x^2}{b^2c^2} + \frac{y^2}{c^2a^2} + \frac{z^2}{a^2b^2}\right).\end{split} \] Diese Fläche besteht aus zwei Schalen, von denen die eine die Punkte \(N\) enthält, für welche \(1/ON = 1/\alpha - 1/\beta\), die andere dagegen solche Punkte \(N'\) des zu \(P\) senkrechten Durchmessers, für welche \(1/ON = 1/\alpha + 1/\beta\). Beide Schalen sind durch das Ellipsoid: \[ 1 - x^2\left(\frac1{b^2} + \frac1{c^2}\right) - y^2\left(\frac1{c^2} + \frac1{a^2}\right) - z^2\left(\frac1{a^2} + \frac1{b^2}\right) = 0 \] getrennt. Der Verf. studirt nun näher die Gestaltung dieser Fläche und die ebenen Curven, in denen sie von Ebenen, die den Coordinatenebenen parallel sind, geschnitten wird.
Full Text: EuDML