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Sur le minimum de l’angle que fait un diamètre d’un ellipsoïde avec le plan diamétral conjugué. (French) JFM 31.0623.01

Nouv. Ann. (3) 19, 466-468 (1900).
Ist die Richtung einer Sehne des Ellipsoides \(x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1\) durch die Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) eines Punktes gegeben, der auf dem zu der Sehne parallelen Durchmesser liegt, und ist zu dieser Sehne die conjugirte Durchmesserebene construirt, so ist der Winkel \(V\), unter welchem die Sehne zu der Durchmesserebene geneigt ist, durch die Formel bestimmt: \[ \sin^2V\left(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4}\right) (x^2 + y^2 + z^2) \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}\right)^2 = 0. \] Ist \(V\) gegeben, so gehört diese Gleichung einem Kegel vierten Grades zu, dessen Geraden dem Winkel \(V\) entsprechen. Dieser Winkel \(V\) ist Maximum oder Minimum, wenn der Kegel eine isolirte Doppelgerade hat. Eine solche Doppelgerade muss in einer der Coordinatenebenen sein; fällt sie mit einer Axe zusammen, so ist \(\sin^2V = 1\); fällt sie nicht mit einer Axe zusammen, so sei sie in der Ebene \(z = 0\); dann muss sie mit einem der gleichen conjugirten Durchmesser der Hauptellipse \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\) zusammenfallen, und dann wird \(\sin^2V = \frac{4a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2}\). Betrachtet man den obigen Kegel mit diesem Werte von \(\sin^2V\), so wird die Doppelgerade eine isolirte, wenn \((c^2-a^2)(c^2-b^2) < 0\), und daher muss \(c\) die mittlere Axe sein. Also derjenige Hauptschnitt, dessen Ebene zur mittleren Axe senkrecht ist, liefert in einem der gleichen conjugirten Durchmesser die verlangte Sehne, für welche \(V\) ein Minimum wird.
Full Text: EuDML