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Remarques sur quelques théorèmes généraux de géométrie métrique. (French) JFM 31.0571.02

Nouv. Ann. (3) 19, 169-176 (1900).
Zweck der Arbeit ist der Nachweis des Zusammenhanges zwischen gewissen verschiedenartigen, von Chasles, Liouville und Laguerre herrührenden, metrischen Sätzen, die von Humbert in seinem Aufsatz über das Abel’sche Theorem und geometrische Anwendungen desselben (Journ. de Math. (4) 3, 237; F. d. M. 19, 432, 1887, JFM 19.0432.01; vgl. auch American J. 10, 258; F. d. M. 20, 686, 1888, JFM 20.0686.01) vervollständigt und verallgemeinert worden sind. Die eine Gruppe dieser Sätze handelt von dem durch Laguerre eingeführten Begriff der Orientirung von Geraden einer Ebene, d. i. der Summe der Winkel, welche diese Geraden mit einer festen Axe in ihrer Ebene einschliessen, die andere von dem Centrum der mittleren Entfernungen eines Systems von Punkten. Die allgemeinsten unter diesen Sätzen, aus denen sich die übrigen als Corollare ableiten lassen, lauten: Die Orientirung des Systems der gemeinsamen Tangenten einer festen Curve und einer veränderlichen einer Schar von Curven ist, wenn jeder reelle Brennpunkt der festen Curve Brennpunkt einer Curve der Schar ist, constant, und: das Centrum der mittleren Entfernungen der gemeinsamen Punkte einer festen Curve und einer veränderlichen eines Büschels von Curven bleibt, wenn jede Asymptote der festen Curve Asymptote einer Büschelcurve ist, unverändert dasselbe. Der Zusammenhang zwischen den beiden Gruppen von Sätzen besteht nun darin, dass man, wenn man in den Sätzen der ersten nach projectiver Verallgemeinerung den einen der beiden beliebigen Punkte, in welche die absoluten Punkte hierbei übergeführt werden, in den anderen hineinrücken lässt, und durch reciproke Polaren so transformirt, dass dieser Punkt in die unendlich ferne Gerade übergeht, unmittelbar zu den Sätzen der zweiten Gruppe gelangt. Der angewandte Ausartungsprocess ist derselbe wie der, vermittelst dessen Poncelet in seiner Analyse des transversales aus dem Carnot’schen Transversalensatze den Satz von Cotes über die harmonische Polare eines Punktes in Bezug auf eine algebraische Curve herleitet. Derselbe Process vermittelt auch den Zusammenhang zwischen dem Chasles’schen Satze (vergl. Quetelet, Correspondance 6, 8), dass das Centrum der mittleren Entfernungen der Berührungspunkte eines Systems von parallelen Tangenten einer gegebenen Curve ein fester, von ihrer Richtung unabhängiger Punkt ist, und dem Laguerre’schen (C. R. 1865), dass die Orientirung des Systems der Tangenten ans einem Punkte an eine algebraische Curve derjenigen der Verbindungslinien dieses Punktes mit ihren reellen Brennpunkten gleich ist.
Full Text: EuDML