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Ueber die verschiedenen Wurzeln einer algebraischen Gleichung und deren Ordnungen. (German) JFM 30.0098.03

In einer früheren Arbeit (Math. Ann. 50, 241; cf. F. d. M. 29, 71, 1898, JFM 29.0071.02) hat Baur gezeigt, dass eine algebraische Gleichung \[ F(y) = a_0y^n + a_1y^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \] dann und nur dann genau \(\varrho\) von einander verschiedene Wurzeln besitzt, wenn in der Reihe \(D_1\), \(D_2\), ..., \(D_n\) der aus dem Schema \(|s_{h+i}|\) (\(h,i=0,1,\dots,n-1\); die \(s\) bezeichnen die Potenzsummen der Wurzeln) zu bildenden Hauptunterdeterminanten \(D_\varrho\) das letzte nicht verschwindende Glied ist, und hat ferner die Gleichung \(B_\varrho(y)=0\), welcher die \(\varrho\) verschiedenen Wurzeln \(y\) genügen, in Form einer Determinante angegeben. Zwischen der Discriminante \(\varDelta(B_\varrho)\) dieser Gleichung und der Determinante \(D_\varrho\) findet er in der neuen Arbeit die Relation \(\varDelta(B_\varrho)=\frac{D_\varrho^{2\varrho-1}}{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_\varrho}\), (\(\lambda_a\) bezeichnet die Ordnung von \(y_a\) als Wurzel der ursprünglichen Gleichung), aus welcher sich verschiedene Folgerungen ziehen lassen, namentlich, da \(\varrho\) positive ganze Zahlen durch Angabe ihrer Summe und ihres Productes vollständig bestimmt sind, der Satz, dass aus \(\varDelta(B_\varrho)\) und \(D_\varrho\) die Werte von \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), ..., \(\lambda_\varrho\) einzeln gefunden werden können. Die allgemeinen Ergebnisse werden noch an der biquadratischen Gleichung erläutert.

Citations:

JFM 29.0071.02
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References:

[1] Vergl. meine Note im 50. Bd. dieser Annalen. Durch ein Versehen ist dort in der letzten Zeile dieser Determinantes 2??2 an Stelle vons 2??1 gesetzt worden. S. a. H. Weber., Algebra, 2. Aufl., I, S. 171.
[2] Vgl. Frobenius, Berl. Sitzungsberichte 1894, S. 247.
[3] Das Verfahren ist ähnlich dem, durch welches Hesse die Identität von Sylvester’s Determinante und Euler’s Resultante nachweist (Tortolini’s Ann. di Matem., Tomo II, 1859; vergl. auch Werke, S. 475).
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