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Sulle congruenze di rette del terzo ordine prive di linea singolare. (Italian) JFM 25.1293.01

Zunächst wird, gezeigt, dass ein singulärer Punkt einer Congruenz \(C\) dritter Ordnung \(n^{\text{ter}}\) Klasse höchstens sechsfach für die Brennfläche sein kann, ferner, dass der Kegel dieses Punktes nur rational oder elliptisch sein kann, woraus die Zahl der Doppelstrahlen folgt, welche durch diesen singulären Punkt gehen und auf dem Kegel liegen. Ein dreifacher Congruenzstrahl muss zwei singuläre Punkte enthalten, und das Geschlecht \(p\) einer \(C\) (Geschlecht der Regelfläche in einem linearen Complex), die ihn hat, ist \(\leqq4\). Für eine \(C\), welche einen Doppelstrahl hat, der 1) durch keinen singulären Punkt geht, ist \(p\leqq2\); 2) nur durch einen singulären Punkt geht, ist \(p=3\) resp. 2, wenn dessen Kegel elliptisch, resp. rational ist, und \(p=1\), wenn der Kegel rational ist und noch ein Congruenzstrahl durch den singulären Punkt geht; 3) durch zwei singuläre Punkte geht, dann kann \(p=4\) sein und ist es, wenn die Kegel dieser singulären Punkte elliptisch sind. Daher: für Congruenzen mit Doppelstrahlen ist \(p\leqq4\).
Durch Bestimmung der Ordnung \(n-p-1\) der Fläche \(\varphi\), die Ort des Punktes ist, deren Congruenzstrahlen in eine Ebene fallen, folgt \(p<n\). Die Klasse der Enveloppe dieser Ebenen wird bestimmt und dann die Ordnung der Cuspidalcurve der Brennfläche. Eine Congruenz mit \(p\leqq n-5\) hat sicher Doppelstrahlen.
Die Anzahlen \(x_i\) der singulären Punkte, von welchen ein Congruenzkegel erster Ordnung ausgeht, \((i = 1, 2, 3)\) und bei \(i=2\) noch ein Strahl, werden durch \(n\) und \(p\) ausgedrückt, und hieraus ergiebt sich, dass für \(C\) ohne vielfache Strahlen und singulär Strahlenbüschel nur \(n = 6\), 7 und \(p = 5\), 6 sein kann, und 10, 20 kubische Kegel vorkommen. Die erste dieser Congruenzen existirt und ist auf die Ebene abbildbar; der Existenzbeweis für die zweite sei noch nicht gelungen. Für alle anderen \(C\) muss \(p\leqq4\) sein. Es ist ferner für \(C\), wenn \(p=\) 1, 2, 3, 4 ist, \(n\leqq6\), 9, 13, 9. Die Anzahl der Doppelstrahlen der singulären Punkte und die Art der Singularität dieser Congruenzen wird bestimmt. Sie sind auf die Ebene abbildbar.

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