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Bemerkungen zur Theorie der Fundamentalgleichung. (German) JFM 25.0523.01

Zunächst wird eine neue Definition der zu einem Umlauf \(U\) der unabhängigen Variable \(x\) gehörigen Fundamentalgleichung gegeben. Sei \(P(y)=0\) eine homogene lineare Differentialgleichung mit Coefficienten, die beim Umlauf \(U\) ungeändert bleiben, \[ v = \sum_{k=1}^{k=n} x_ky_k \] das allgemeine Integral derselben, \(\theta^\lambda v\) der durch \(\lambda\)-maligen Umlauf entstehende Zweig von \(v\), so besteht zwischen den \(n+1\) Integralen \(\theta^\lambda v\) \((\lambda=1,\dots,n)\) die Relation \[ c_n\theta^nv + c_{n-1}\theta^{n-1}v +\cdots+ c_0v = 0. \] Die Gleichung \[ F(\omega) = c_n\omega^n + c_{n-1}\omega^{n-1} +\cdots+ c_0\omega = 0 \] ist dann die zum Umlauf \(U\) gehörige Fundamentalgleichung. Für specielle Werte der \(x_1\), ..., \(x_n\) kann \(v\) schon einer Differentialgleichung niedrigerer, \(\mu^{\text{ter}}\), Ordnung \(Q(z)=0\) mit Coefficienten, die beim Umlauf \(U\) ungeändert bleiben, genügen. Die Fundamentalgleichung von \(Q(z)=0\): \[ G(\omega) = g_\mu\omega^\mu +\cdots+ g_0 = 0 \] muss dann mit \(F(\omega)=0\) gemeinsame Wurzeln haben, und genügt der Relation \[ g_\mu\theta^\mu v + g_{\mu-1}\theta^{\mu-1}v +\cdots+ g_0v = 0. \] Für die \(x_1\), ..., \(x_n\) ergiebt sich ein gewisses Gleichungssystem, und die Anzahl seiner unabhängigen Lösungssysteme ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Integrale, die \(P=0\) und \(Q=0\) mit einander gemein haben. Ist ferner \(R=0\) die Differentialgleichung, der die gemeinsamen Integrale von \(P=0\) und \(Q=0\) genügen, und \(H(\omega)=0\) die Fundamentalgleichung von \(R=0\), so ist \(H(\omega)\) der grösste gemeinsame Teller von \(F=0\) und \(G=0\). Indem man nun für eine \(\lambda\)-fache Wurzel \(\omega_a\) von \(F=0\) die Integrale \(u_a=\sum\xi_ky_k\) von \(P=0\) bestimmt, die der zu dem Factor \(L(\omega)=(\omega-\omega_a)^\lambda\) gehörigen Relation \[ \theta^\lambda u_a - \lambda\omega_a\theta^{\lambda-1}u_a + \lambda_2\omega_a^2\theta^{\lambda-2}u_a +\cdots+ (-1)^\lambda \omega_a^\lambda u_a = 0 \] Genüge leisten, so erhält man das zum Umlaufe \(U\) gehörige kanonische Fundamentalsystem in der von Herrn Fuchs aufgestellten Form. Die Bestimmung der zu den Factoren \[ L_i(\omega) = (\omega - \omega_a)^i\qquad(i = 1,2,\dots,\lambda) \] gehörigen Integrale führt zur Zerlegung der zu \(\omega_a\) gehörigen Integrale in Untergruppen.
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Full Text: Crelle EuDML