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Die Irreducibilität der homogenen linearen Differentialgleichungen. (German) JFM 25.0518.01

Es werden nur homogene lineare Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten betrachtet, und eine solche Gleichung wird irreductibel genannt, die mit keiner anderen, ebenfalls linearen Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten von niedrigerer Ordnung eine gemeinsame Lösung hat. Die Aufgabe ist die, durch eine endliche Anzahl von Schritten über die Irreductibilität einer gegebenen Gleichung zu entscheiden. Hierfür wird folgender Weg eingeschlagen. Die gegebene Gleichung sei \[ f(y)\equiv y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} +\cdots+ p_ny = 0. \] Wenn sie reductibel ist, so existirt eine andere Gleichung niederer Ordnung mit ebenfalls rationalen Coefficienten: \[ \varphi(y)\equiv y^{(m)} + q_1y^{(m-1)} +\cdots+ q_my = 0\qquad(m<n), \] die ihre sämtlichen Lösungen mit der gegebenen gemein hat. Ein Fundamentalsystem derselben sei \(y_1\), ..., \(y_m\); ihre Hauptdeterminante \(\Delta\) genügt einer linearen Differentialgleichung von höchstens \(n_m^{\text{ter}}\) Ordnung (\(n_m\) der \(m^{\text{te}}\) Binomialcoefficient von \(n\)), deren Coefficienten rational durch die Coefficienten (und Differentialquotienten) der gegebenen Gleichung darstellbar sind. Da \(\Delta=e^{\smallint q_1dx}\) ist, so ergiebt sich aus der Gleichung für \(\Delta\) eine nicht lineare Differentialgleichung für \(q_1\), die also im angenommenen Falle eine rationale Lösung haben muss. Sind \(a_1\), ..., \(a_\varrho\) diejenigen Pole von \(q_1\), die zugleich Pole der Coefficienten der Gleichung für \(\Delta\) sind, so lassen sich für die Ordnungszahlen derselben obere Grenzen angeben, sie seien bezüglich \(k_1\), ..., \(k_\varrho\); ausser diesen Polen kann \(q_1\) nur einfache Pole haben mit positiven ganzzahligen Coefficienten. Die Form von \(q_1\) ist demnach \[ \sum_1^\infty{}_i \frac{A_{i1}}{x-a_i} + \frac{A_{i2}}{(x-a_i)^2} +\cdots+ \frac{A_{ik_i}}{(x-a_i)^{k_i}} + \sum \frac{\alpha_i}{x-b_i} = R(x) + \psi(x), \] wo \(\alpha_i\) positive ganze Zahlen sind. Durch Substitution dieses Ausdrucks in die Gleichung für \(q_1\) erhält man ein algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung der \(A_{i\varkappa}\) und dadurch \(R(x)\). \(\Delta\) hat dann die Form \(\Delta=e^{\smallint Rdx}v\), wo \(v\) in Folge der Beschaffenheit von \(\psi\) eine ganze rationale Function ist. Die Einsetzung dieses Ausdrucks in die Gleichung für \(\Delta\) ergiebt eine lineare Differentialgleichung für \(v\), die eine rationale ganze Lösung haben muss. Die übrigen Coefficienten \(q_i\) bestimmt man vermöge der Beziehung \(\Delta_i=\Delta q_i\), wo \(\Delta_i\) aus \(\Delta\) entsteht, indem man \(y_1^{(i)}\), ..., \(y_m^{(i)}\) durch \(y_1^{(m)}\), ..., \(y_m^{(m)}\) ersetzt. \(\Delta_i\) genügt, wie \(\Delta\) einer leicht aufstellbaren linearen Differentialgleichung, aus der man mittels des bekannten Ausdrucks für \(\Delta\) eine lineare Differentialgleichung für \(q_i\) ableitet. Haben alle diese Gleichungen für \(q_i\) rationale Lösungen, so ist noch nachzusehen, ob die gegebene Gleichung mit der Gleichung \(\varphi=0\), in der für \(q_1\), ..., \(q_m\) die im Vorhergehenden bestimmten rationalen Functionen gesetzt werden, gemeinsame Lösungen hat, was durch bekannte Methoden geschieht. Das beschriebene Verfahren wird auf die hypergeometrische Differentialgleichung angewandt und führt zu den bekannten Bedingungen für ihre Reductibilität.

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References:

[1] Frobenius: Journ. f. r. u. a. Math. 76 und 80.
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