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Ueber orthogonale, involutorische und orthogonalinvolutorische Substitutionen. (German) JFM 24.0636.01

Gött. Abh. XXXVIII. 42 S. (1892).
Cayley hat bekanntlich die Coefficienten einer algemeinen orthogonalen Substitution durch \(\frac12 n(n-1)\) unabhängige Parameter dargestellt. Die Thatsache nun, dass zwischen den Coefficienten einer involutorischen Substitution ähnliche Relationen wie zwischen denen einer orthogonalen bestehen, liess den Verf. vermuten, dass auch für die Coefficienten einer allgemeinen involutorischen Substitution eine Darstellung der angegebenen Art möglich sei, und gab den Anstoss zu den vorliegenden Untersuchungen, welche die Richtigkeit der Vermutung bestätigten. Es zeigte sich, dass derselbe Grundgedanke sowohl zur Darstellung des Coefficientensystems einer allgemeinen orthogonalen wie zur Darstellung desjenigen einer allgemeinen involutorischen Substitution führt.
Sind nämlich \(a_{\mu\nu}\) \((\mu,\nu= 1,2,\dots, n)\) irgend welche \(n^2\) Grössen, so hat von den \(2^n\) Determinanten: \[ A_{(\varepsilon)}= \left| \begin{matrix} a_{11}+ \varepsilon_1 &\dots &a_{1n}\\ \hdotsfor 3\\ a_{n1} &\dots &a_{nn}+ \varepsilon_n \end{matrix} \right| \qquad (\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n= \pm1) \] immer wenigstens eine einen von Null verschiedenen Wert, und man kann die \(n^2\) Grössen \(a\) mit Hülfe von \(n\) solchen Grössen \(\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n\), für welche \(A_{(\varepsilon)}\) von Null verschieden ist, und von \(n^2\) passend gewählten Grössen \(b_{\mu\nu}\) mit nicht verschwindender Determinante \(B\) darstellen in der Form: \[ a_{\varrho\sigma}= \varepsilon_\varrho \biggl( \frac {2\beta_{\varrho\sigma}}{B} -\varDelta_{\varrho\sigma} \biggr) \qquad (\varrho,\sigma= 1,2,\dots, n), \] wenn man mit \(\beta_{\varrho\sigma}\) die Adjuncte von \(b_{\varrho\sigma}\) in der Determinante \(B\) bezeichnet, und \(\delta_{\varrho\sigma}=1\), wenn \(\varrho= \sigma,=0\), wenn \(\varrho\gtrless \sigma\) ist. Auf Grund dieser Darstellung erhält man unmittelbar:
1. die Coeffizientensysteme \(a_{\mu\nu}\) aller orthogonalen Substitutionen, für welche die mit irgend \(n\) fest angenommenen zweiten Einheitswurzeln \(\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n\) gebildete Determinante \(A_{(\varepsilon)}\) einen von Null verschiedenen Wert besitzt, und nur diese allein, auch jedes derselben nur einmal, wenn man die \(n^2\) Grössen \(b\) den Bedingungen \[ b_{11}= \cdots= b_{nn}= 1,\quad b_{\lambda\kappa}= -b_{\kappa\lambda} \qquad (\kappa< \lambda;\;\kappa,\lambda= 1,2,\dots, n) \] und der weiten, dass ihre Determinante \(B\) einen von Null verschiedenen Wert besitzt, unterwirft, und alsdann an Stelle des Systems der \(\frac12 n(n-1)\) Grössen \(b_{\kappa\lambda}\) ein jedes die Bedingung \(B\gtrless 0\) nicht verletzende System von Werten treten lässt;
2. die Coefficientensysteme \(a_{\mu\nu}\) aller involutorischen Substitutionen, für welche die mit irgend \(n\) fest angenommenen zweiten Einheitswurzeln \(\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n\) gebildete Determinante \(A_{(\varepsilon)}\) einen von Null verschiedenen Wert besitzt, und nur diese allein, auch jedes derselben nur einmal, wenn man die \(n^2\) Grössen \(b\) den Bedingungen: \[ b_{11}=\cdots= b_{nn}=1, \quad b_{\kappa\lambda}=0, \quad\text{wenn }\varepsilon_\kappa= \varepsilon_\lambda \qquad (\kappa\gtrless \lambda;\;\kappa, \lambda=1,2,\dots, n) \] und der weiteren, dass ihre Determinante \(B\) einen von Null verschiedenen Wert besitzt, unterwirft und alsdann an Stelle des Systems der \(n^2\) Grössen \(b\) und jedes den genannten Bedingungen genügende System von Werten treten lässt.
Es werden dadurch die Coefficienten einer involutorischen Substitution, bei der von den \(n\) Grössen \(\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n\), für welche die zugehörige Determinante \(A_{(\varepsilon)}\) nicht verschwindet, \(m\) den Wert \(-1\), \(n-m\) den Wert \(+1\) besitzen; durch \(2m(n-m)\) Parameter dargestellt. Eine solche Substitution wird einen zur Zahl \(m\) gehörige genannt, und es beschäftigen sich die Art. 4-6 mit der Parameterdarstellung der Coefficienten der allgemeinsten zur Zahl \(m\) gehörigen involutorischen Substitution. Das am Ende des Art. 4 angegebene Resultat wurde auf anderem Wege von Herrn Cornely (Inaug. Dissert. Würzburg 1891; F. d. M. XXIII. 1891. 722, JFM 23.0722.01), der auf Veranlassung des Verf. die Eigenschaften der Coefficienten einer involutorischen Substitution eingehend untersucht hat, abgeleitet.
Die aus dem Früheren unmittelbar sich ergebene Parameterdarstellung der Coefficienten einer orthogonal-involutorischen Substitution wird in Art. 7 angegeben.

Citations:

JFM 23.0722.01
Full Text: EuDML