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Le corrispondenze univoche tra gruppi di \(p\) punti sopra una curva di genere \(p\). (Italian) JFM 24.0573.01

Auf jeder Curve vom Geschlecht \(p\) giebt es Vollscharen \(g^{(p)}_{2p}\). Ist eine Gruppe \(A\) nicht Glied einer Specialschar \(g^{(\lambda)}_p\), so bestimmt sie eine Gruppe \(AA_1\) von \(g^{(p)}_{2p}\) in unzweideutiger Weise, und es entsteht auf diese Weise eine involutorische Beziehung \(I\) auf der Grundcurve. Ein Paar dieser Beziehung ist willkürlich. Ist \(BB_1\) ein zweites, so hat man die symbolische Gleichung (wo \(\equiv\) das Zeichen der Aequivalenz, Corresidualität ist): \[ A+A_1\equiv B+B_1. \] Hat man zwei Vollscharen \(g^{(p)}_{2p}\), so gehöre \(A_1\) vermöge der einen Beziehung \(I\) zu \(A\), vermöge der zweiten Beziehung \(A'\) zu \(A_1\). Alsdann wird \[ E\equiv [A, A'] = I.I_1 \] gesetzt. Ist von dieser neuen Beziehung \(BB'\) ein neues Paar, so ist \[ A+B' =B+A'. \] Dieselbe ist im allgemeinen nicht mehr involutorisch. Betrachtet man ein Product aus beliebig vielen Factoren \(E\) und \(I\), so wird man eine Beziehung erster oder zweiter Art erhalten, je nachdem die Anzahl der letzteren Factoren ungerade oder gerade ist. In einem Product \(E_1E_2\dots E_n\) kann man die Factoren beliebig vertauschen. Da \[ [G+a,\;G+a'] = [H+a,\;H+a'] \] ist, wo \(G\) und \(H\) beliebige Gruppen zu \((p-1)\) Punkten sind, so kann man unter \([a_1,a_2]\) eine bestimmte durch zwei Curvenpunkte festgelegte Beziehung \(E\) bezeichnen. Dann ist \[ [a_1,a_1'][a_2,a_2']\dots [a_m, a_m']= 1, \] wo 1 die identische Beziehung ist, die jede Gruppe aus \(p\) Punkten sich selbst zuordnet, die Bedingung für die Aequivalenz (Corresidualität) zweier Gruppen.
Durch jede Gruppe \(A\) sind, wenn \(n\) die Primfactoren \(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \dots\) hat, \[ n^{2p}\left(1-\frac{1}{\alpha^{2p}}\right)\left(1-\frac{1}{\beta^{2p}}\right)\left(1-\frac{1}{\gamma^{2p}}\right)\cdots \] cyklische Beziehungen \(E\) festgelegt, die der Gleichung \(E^n\equiv 1\) genügen. Sie entstehen, indem man aus der Vollschar \(g^{(n-1)p}_{np}\), die durch die \(n\)-fach wiederholte Gruppe \(A\) bestimmt wird, die übrigen Gruppen derselben Art \(A'^n\) aufsucht und dann \(E\equiv [A,A']\) setzt.
In einem Anhang weist Herr Castelnuovo aus dem Abel’schen Theorem nach, dass auf einer Curve mit allgemeinen Moduln keine anderen eindeutigen Beziehungen zwischen Gruppen aus \(p\) Punkten bestehen können, als die behandelten.

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