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Ueber die Differentialgleichungen der Dynamik und den Begriff der analytischen Aequivalenz dynamischer Probleme. (German) JFM 23.0932.03

Es sei ein System materieller Punkte gegeben, für welches die Bedingungen sowohl wie die wirkenden Kräfte nur von der Configuration der Punkte, nicht von ihren Geschwindigkeiten abhängen, und es sei die Lage des Systems zur Zeit \(t\) durch die \(n\) unabhängigen Bestimmungsstücke \(p_{1},\dots ,p_{n}\) ausdrückbar. Es sei \(T\) lebendige Kraft \((2Tdt^2=\varSigma a_{\kappa \lambda }dp_{\kappa }dp_{\lambda }),\) \(U'=\varSigma P_{\kappa }\delta p_{\kappa }\) die virtuelle Arbeit des Systems, sodass die \(a_{\kappa \lambda }\) und \(P_{\kappa }\) Functionen von \(p_{1},\dots ,p_{n}\) allein sind; das dem quadratischen System \(|a_{\mu \nu }|\) reciproke Sytem heisse \(|a'_{\mu \nu }|\), und es werde \[ \tfrac 12\left( \frac {\partial a_{\kappa \mu }}{\partial p_{\lambda }}+ \frac {\partial a_{\lambda \mu }}{\partial p_{\kappa }}- \frac {\partial a_{\kappa \lambda }}{\partial p_{\mu }}\right) = \left[\begin{matrix} {\kappa \lambda } \\ \mu \end{matrix} \right] _{a}, \]
\[ \sum _{\mu } \left[ \begin{matrix} {\kappa \lambda } \\ \mu \end{matrix} \right] _{a}a_{\mu \nu}'= \left\{ \begin{matrix} {\kappa \lambda } \\ \nu \end{matrix} \right\} _{a} \] gesetzt. die Gleichungen für die Bewegung des Systems können dann auf folgende Normalform gebracht werden, die offenbar nur von \(T\) und \(U'\) abhängt: \[ (1)\quad \frac {d^2p_{\nu }}{dt^2}=-\sum _{\kappa,\lambda } \left\{ \begin{matrix} {\kappa\lambda } \\ \nu \end{matrix} \right\} _{a} \frac {dp_{\kappa }}{dt}\frac {dp_{\lambda }}{dt}+ \sum _{\mu } P_{\mu }a'_{\mu \nu }\,. \] Statt \(p_{1},\dots ,p_{n}\) kann man noch auf unendlich viele Arten andere \(n\) Veränderliche einführen. Zwei in solcher Art gegebene dynamische Probleme sollen “analytisch äquivalent” heissen, wenn die Ordnung \(n\) in beiden dieselbe ist und man die Bestimmungsstücke \(p_{1},\dots ,p_{n}\) in ihnen so wählen kann, dass die Gleichungen (1) bei beiden Problemen genau dieselben werden.
Es entspringt daraus die Aufgabe, wenn \(T\) und \(U'\) gegeben sind, \(2{\mathfrak T}dt^2=\varSigma w_{\kappa \lambda }dp_{\kappa }dp_{\lambda }\) und \({\mathfrak U}'=\varSigma V_{\kappa }\delta p_{\kappa }\) auf alle möglichen Arten so zu wählen, dass \(\mathfrak T\) eine positive Form wird und die sämtlichen Gleichungen \[ (2)\quad \left\{ \begin{matrix} {\kappa \lambda } \\ \nu \end{matrix} \right\}_{w} =\left\{ \begin{matrix} {\kappa \lambda } \\ \nu \end{matrix} \right\}_{a}, \]
\[ (3)\quad \sum _{\mu }V_{\mu }w_{\mu \nu }'=\sum _{\mu}P_{\mu}a_{\mu \nu}' \quad (\kappa ,\lambda ,\nu ; \mu =1,\dots ,n) \] bestehen. Die Gleichungen (3) liefern unmittelbar die \(V_{\mu }\), sowie die \(w_{\kappa \lambda}\) bestimmt sind. Den Gleichungen (2) genügt man zunächst durch \(w_{\kappa \lambda}=ca_{\kappa \lambda },\) unter \(c\) eine positive Constante verstanden, was zu \({\mathfrak T}=cT\), \({\mathfrak U}'=cU'\) führt; man gewinnt damit das sogenannte Princip der mechanischen Aehnlichkeit. Es wird nun nachgewiesen, dass, wenn das System (2) noch eine andere Lösung als \(w_{\kappa \lambda }=ca_{\kappa \lambda }\) besitzen soll, damit eine wirkliche Beschränkung der \(a_{\kappa \lambda }\) verlangt wird, dass also, abgesehen von singulären, besonders zu untersuchenden Fällen, für die analytische Aequivalenz zweier dynamischen Probleme nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig ist, dass die bezüglichen Ausdrücke der virtuellen Arbeit und der lebendigen Kraft bei geeigneter Wahl der Variabeln identisch ausfallen. So ist die Kenntnis dieser Ausdrücke im allgemeinen das Minimum dessen, was zur analytischen Kennzeichnung eines dynamischen Problems erfordert wird. Unter allen einem Probleme äquivalenten giebt es dann immer ein Normalproblem von möglichst einfacher Formulirung, nämlich dasjenige, welches die Bewegung eines Punktes von der Masse 1 in einer \(n\)-fachen Mannigfaltigkeit mit bestimmtem Ausdruck des Linienelements betrifft. Zum Schlusse werden diese allgemeinen Sätze an dem Falle \(n=2\) erläutert und wird als Beispiel die Bewegung einer starren Geraden in einem Strahlensysteme unter der Annahme behandelt, dass die Lage der Geraden in den Strahlen eine vorgeschriebene sei; als Grenzfall dieser Bewegung erscheint die Bewegung einer Geraden auf einer geradlinigen Fläche.

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Full Text: EuDML