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Sui sistemi tripli ortogonali che contengono una serie di superficie con un sistema di linee di curvature piane. (Italian) JFM 23.0801.03

Die Aufgabe, ein dreifaches Orthogonalsystem zu bestimmen, welches eine Schar von Flächen mit einem System ebener Krümmungslinie enthält, lässt sich zurückführen auf die bekannte Bestimmung der cyklischen Systeme, und es genügen, um eines dieser Systeme zu bestimmen, folgende charakteristischen Elemente:
1) Eine Fläche \(\varSigma_0\), welche orthogonal zu den ebenen Curven \(C\) ist, 2) eine dieser ebenen Curven \(C_0\), 3) die Krümmungskreise der Curven \(C\) in ihren Durchschnittspunkten mit \(\varSigma_0\). Sind diese Elemente gegeben, und bilden die gegebenen Kreise ein Normalensystem, d. h. lassen sie ein Reihe von orthogonalen Flächen zu, so existirt das entsprechende dreifach-orthogonale System und kann durch Quadraturen bestimmt werden. Jede Fläche, welche ein System ebener Krümmungslinien besitzt, gehört einem derartigen dreifachen Orthogonalsystem an.
Zwei specielle Fälle sind besonders ausgezeichnet. Der erste tritt ein, wenn für alle Flächen \(\varSigma_1\) der einen der beiden Scharen, welche die ebenen Krümmungslinien \(C\) haben, der Winkel, unter dem sie von den Ebenen dieser Curven geschnitten werden, constant ist. Die Bestimmung dieser speciellen Systeme lässt sich zurückführen auf die infinitesimale Deformation der Flächen, welche ein System von asymptotischen Linien mit constanter Torsion haben.
In diesen beiden Fällen genügen Quadraturen, um beliebig viele dreifache Orthogonalsysteme der entsprechenden Art zu erhalten.

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