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Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme. IV. Artikel. Die trilineare Beziehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden. (German) JFM 23.0661.01

Während in zwei projectiv-linearen ebenen Systemen die zugeordneten Punkte auf je drei zugeordneten geraden Linien im allgemeinen drei projective Punktreihen bilden, so besteht zwischen den auf den drei Hauptaxen enthaltenen Punktreihen eine trilineare Beziehung. Andererseits findet zwischen drei zugeordneten Strahlenbüscheln jederzeit eine trilineare Beziehung statt. Umgekehrt ergiebt sich, dass in zwei sectiv-trilinearen ebenen Systemen je drei zugeordnete Strahlenbüschel, mit Ausnahme der in den Hauptpunkten liegenden, in projectiver, dagegen je drei zugeordnete Punktreihen in trilinearer Beziehung stehen. Wegen dieser Vorkommnisse ist der Verfasser genötigt, bevor er die Eigenschaften der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme weiter verfolgt, die für seinen Zweck in Betracht kommenden Eigenschaften der trilinearen Beziehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden zu erörtern.
Hierbei geht er von den kleinen Ergebnissen aus, welche der Referent 1880 in den Math. Ann. XVII. 457 (siehe JFM 12.0454.01) veröffentlicht hat, und zwar in einer “Die trilineare Beziehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden” betitelten Abhandlung, welche der Verfasser wohl etwas übertreibend als “grundlegend” bezeichnet. Wer je die Früchte des Gedankens der projectiven Beziehung zweier Grundgebilde in der synthetischen Geometrie kennen gelernt hat, für den ist der Gedanke, eine trilineare Beziehung zwischen drei Grundgebilden zu constituiren, so nahe liegend, dass anzunehmen ist, dass auch andere Mathematiker schon vor dem Referenten die Grundlagen dieser Beziehung erkannt haben vielleicht ohne damit an die Oeffentlichkeit zu treten. Während der Referent von der sectiven Erzeugungsweise trilinearer Punktreihen ausging, wird hier die Untersuchung auf Grund der projectiven Erzeugung geführt. Nach der Entwickelung und constructiven Verwertung der wichtigsten Eigenschaften der trilinearen Beziehung werden die Relationen zwischen drei Strahlenbüscheln erörtert, welche in drei projectiv-linearen ebenen Systemen einander zugeordnet sind. Die aus der blossen Bedingung der eindeutigen algebraischen Zuordnung vom Referenten abgeleitete fundamentale Doppelverhältnis-Relation \[ (pqxy)(p'q'x'y')(p''q''x''y'')=1 \] tritt auch in den Entwickelungen des Verfassers als grundlegend hervor. Hier bedeuteten auf drei Strahlen \(p\), \(q\), \(p'\), \(q'\), \(p''\), \(q''\) die 3-mal 2 Kernpunkte, \(x,\;x',\;x''\) und \(y,\;y',\;y''\) zwei beliebige Tripel zugeordneter Puntke. Interessante weitere auf die Fluchtpunkte bezügliche Relationen, sowie Eigenschaften der Ausartungen werden vom Verfasser entwickelt.

Citations:

JFM 12.0454.01
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Full Text: Crelle EuDML