×

Ueber die Theorie der algebraischen Invarianten. (German) JFM 23.0113.02

Der Verf. zeigt in der vorliegenden Note, dass den von ihm früher (cf. F. d. M. XXII. 1890. 133, JFM 22.0133.01) aufgestellten Endlichkeitstheoremen über algebraische Formen nicht nur eine principielle Bedeutung zukommt, sondern dass bei geeigneter Erweiterung mit ihrer Hülfe und mit Benutzung Kronecker’scher Methoden die genaue Erledigung einer Reihe besonderer Fragen über die “Aufstellung und Structur” voller Invariantensysteme möglich ist.
Daran knüpfen sich Methoden zur Behandlung der bekannten Aufgabe, Formen zu bestimmen, deren Invarianten gegebene Werte besitzen.
Sei etwa eine einzelne binäre Grundform \(f\) der \(n^{\mathrm ten}\) Ordnung vorgelegt; die endliche Basis ihres Invariantensystems bestehe aus \(m\) Invarianten \(i\). Erhebt man diese auf geeignete Potenzen, so ergeben sich \(m\) neue Invarianten \(i'\) vom nämlichen Grade in den Coefficienten von \(f\). Unterwirft man jetzt die \(i'\) einer passenden linearen Substitution, wodurch sie in \(i''\) übergehen mögen, so kann man es erreichen, dass alle Invarianten von \(f\) “ganze” algebraische Functionen von \(m-1\) der Invarianten \(i''\) werden. Durch Wiederholung des Verfahrens lässt sich die Anzahl \(m-1\) auf \(n - 2\) herunterdrücken. Verschwinden also für eine besondere Grundform \(f\) diese \(n-2\) Invarianten, so verschwinden auch alle übrigen. Aber auch die noch wichtigere Umkehrung gilt, sodass, wenn ganz allgemein \(\mu\) Invarianten \(J\) eines Formensystems so beschaffen sind, dass ihr Verschwinden das aller übrigen Invarianten des Systems nach sich zieht, alle Invarianten ganze algebraische Functionen der \(J\) sind.
Der Beweis stützt sich wesentlich einmal auf die Endlichkeit der Invariantensysteme, sodann auf ein neues Endlichkeitstheorem. Verschwindet nämlich eine Reihe \(F, F', F'',\dots\) von Formen der \(n\) Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_n\) immer dann, wenn \(m\) vorgelegte Formen \(f_1,\dots,f_m\) der \(x\) verschwinden, so giebt es immer eine Zahl \(r\), sodass jedes Product \(P\) von irgend \(r\) Formen \(F\) eine lineare Combination der \(f\) ist, d. h. dass \[ P = a_1f_1 +a_2f_2+\cdots +a_mf_m, \] wo die \(a\) wiederum Formen der \(x\) bedeuten.
Der Verf. wendet sich nunmehr zur Aufgabe der wirklichen Aufstellung eines vollen Invariantensystems, vermöge Heranziehung eines Kronecker’schen Satzes aus der arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen. Daraus ergiebt sich, dass, sobald erst einmal ein System von Invarianten \(J\) (wie es oben erwähnt wurde) bekannt ist, die Aufstellung des “vollen” Invariantensystems nur noch die Lösung einer elementaren Aufgabe erfordert, nämlich die Berechnung der Discriminante einer einen gewissen Rationalitätsbereich bestimmenden Gleichung. Zum Schlusse verbindet der Verf. die skizzirten Methoden mit den früher von ihm für allgemeine Moduln entwickelten. Danach geht z. B. die Aufgabe, die (vom Referenten zuerst angegebene) Anzahl der binären Formenbüschel zu finden, deren Functionaldeterminante einer gegebenen Form gleich wird, über in die verhältnismässig einfache der Aufsuchung der “charakteristischen Function” eines gewissen Moduls.

Citations:

JFM 22.0133.01
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML