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Theorie der Quaternionen. (Dutch) JFM 23.0075.01

Leiden. E. J. Brill. 284 S. 8\(^\circ\) (1891).
Das Studium der Quaternionen wird nach des Verfassers Ansicht wesentlich dadurch erschwert, dass einerseits die grundlegenden Schöpfungen Hamilton’s zu ausführlich sind, andrerseits aber die Lehrbücher, welche sich zur Einführung in die neue Rechnungsweise empfehlen, die Theorie nicht genügend berücksichtigen. Das vorliegende Buch soll deshalb die Mitte zwischen diesen beiden Standpunkten einnehmen. Es schliesst sich denn auch im allgemeinen den Hamilton’schen Anschauungen völlig an. Zuerst wird der Begriff des Vectors, der Addition und der Subtraction von Vectoren und die Wirkung eines scalaren Operators erörtert. Hierbei tritt naturgemäss die Frage nach dem Resultat der Anwendung des Symbols \(\sqrt{-1}\) an einem Vector hervor. Der Verfasser betrachtet dieses Symbol als einen in einer unbestimmten Ebene wirksamen Operator, welcher einen Vector eine Vierteldrehung ausführen lässt, sodass unter der Grösse \(\sqrt{-1}.\beta\) die Gesamtheit der aus \(\beta\) durch eine solche Drehung entstandenen Vectoren zu verstehen ist. Dieselben bilden einen “Vectorkreis”, und das Symbol \(\alpha+\sqrt{-1}\beta\) wird, hieran anschliessend, als ein “Vectorkegel” gedeutet, nämlich als die Summe des Vectors \(\alpha\) mit jedem in dem Vectorkreis \(\sqrt{-1}\beta\) enthaltenen Vector.
Die Theorie der Quaternionen wird in der Weise aufgebaut, dass der Quaternion \(\alpha:\beta\) als ein Operator definirt wird, welcher den Vector \(\alpha\) in \(\beta\) überführt, und erst nachdem die meisten Eigenschaften dieses Vectorenquotienten bewiesen sind, wird die viergliedrige Grundform für denselben hergeleitet. In gleicher Weise wird der Hamilton’sche Biquaternion \[ \frac{\alpha+\sqrt{-1}\beta}{\gamma} \quad \text{oder}\quad q+\sqrt{-1}q' \] als ein Operator gedeutet, welcher den Vector \(\gamma\) in den Vectorkegel \(\alpha+\sqrt{-1}\beta\) überführt.
Nachdem die Producte von Vectoren mit einander und mit Quaternionen definirt sind, wodurch die Gelegenheit geboten wird, zu einer allgemeineren Deutung des Symbols \(\sqrt{-1}\alpha\) zu gelangen, entwickelt der Verfasser im vierten Abschnitt eine Theorie der geometrischen Darstellbarkeit der imaginären Punkte im Raume. Zwei conjugirt imaginäre Punkte \(\alpha \pm \sqrt{-1}\beta\) erscheinen hierbei als zwei zusammenfallende, aber in entgegengesetztem Sinne beschriebene Kreise. Hierdurch wird auch die geometrische Deutung von Figuren ermöglicht, welche mittels Gleichungen mit complexen Coefficienten dargestellt werden. Von diesen “allgemeinen” Gebilden werden die Ebene und die Gerade näher betrachtet und die Beziehung der Theorie des Verfassers zu der Tarry’schen dargelegt.
In den folgenden Abschnitten wird die Differentiation von Quaternionen, die lineare Vectorfunction eines Vectors und die Auflösung von Gleichungen mit Quaternionen behandelt. Der Logarithmus und die trigonometrischen Functionen eines Quaternionen werden im Anhange definirt.
Um das Eindringen in die Theorie möglichst zu erleichtern, sind alle Anwendungen vermieden.

Full Text: EuDML