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Anwendung der Modulsysteme auf eine elementare algebraische Frage. (German) JFM 21.0132.02

Die Coefficienten derjenigen Function \[ h (x) = c_0 x^m + \cdots + c_{m}, \] deren Wurzeln gleichzeitig den beiden Gleichungen \[ f(x) = a_0 x^n + \cdots + a_{n} = 0\quad \text{und} \quad g (x) = b_0 x^{n} + \cdots + b_{n} = 0 \] genügen, lassen sich bekanntlich als aus den Elementen \(a_{0}, \dots, a_{n}, b_{0}, \dots, b_{n}\) gebildete Determinanten darstellen. Aus der Bedeutung von \(h (x)\) als dem Producte des grössten gemeinsamen Teilers von \(f(x), g (x)\) und einer ganzen Function der \(a, b\) lässt sich leicht schliessen, dass alle Coefficienten der Functionen \(a_{0} h (x)\) und \(b_{0} h (x)\) durch \(c_0\) teilbar sein müssen, was aus der Form dieser Coefficienten durchaus nicht ohne weiteres zu erkennen ist. Damit die Functionen \(f(x)\) und \(g (x)\) einen gemeinschaftlichen Teiler von wenigstens dem \(m^{\text{ten}}\) Grade besitzen, müssen ihre Resultate und deren Unterdeterminanten bis zur Ordnung \(2n - 2m + 2\) gleich Null sein. Verschwindet nun auch noch \(c_{0}\), so sind die übrigen \(c\) notwendig auch Null, weil der gemeinsame Teiler alsdann von höherem als dem \(m^{\text{ten}}\) Grade ist. Auch diese Beziehung unter den \(c\) geht aus ihrer Form nicht unmittelbar hervor.
In der vorliegenden Abhandlung hat nun der Herr Verfasser die erwähnten Thatsachen direct durch Determinantenbetrachtungen nachgewiesen. Um nicht mit Relationen unter solchen Grössen \(a, b\) zu thun zu haben, zwischen denen die für die Existenz eines gemeinsamen Teilers erforderlichen Bedingungsgleichungen bestehen, operirt er nach dem Vorbilde des Herrn Kronecker nur mit Congruenzen für aus Determinanten bestehende Modulsysteme, und erreicht dadurch den Vorteil, die \(a, b\) als unbestimmte Variabeln betrachten und die Resultate als reine Identitäten darstellen zu können. Die Schlüsse werden im wesentlichen aus dem Satze gezogen, dass ein Aggregat von Producten je zweier Determinanten der Ordnung \(2k\) für ein aus Determinanten der Ordnung \(2k + 2\) bestehendes Modulsystem congruent Null ist, einem Satze, dessen Beweis auf der nach zwei verschiedenen Arten ausgeführten Zerlegung einer Determinante der Ordnung \(4k\) beruht.
Zum Schluss werden unter Anwendung derselben Principien für solche Determinanten, die durch \(k\) Colonnen der ersten \(k\) Zeilen des Schemas \[ \begin{matrix} w_0 & w_1 & w_2 & w_3 & \dots\\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4 & \dots\\ w_2 & w_3 & w_4 & w_5 & \dots\\ \hdotsfor{5}\end{matrix} \] gebildet sind, den bisherigen Resultaten analoge Beziehungen abgeleitet.

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Full Text: Crelle EuDML