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Recherches sur les groupes d’ordre fini contenus dans le groupe quadratique crémonien. (French) JFM 20.0852.03

Journ. de Math. (4) IV, 177-247 (1888); IV, 407-464 (1888).
Nachdem der Herr Verfasser in zwei früheren Aufsätzen in demselben Journale (1885, JFM 17.0792.01, und 1886, JFM 18.0655.02) die Gruppen endlicher Ordnung studirt hat, welche in den quadratischen und kubischen “Cremona”-Gruppen enthalten sind, stellt er sich in dieser Arbeit die Aufgabe, die Methoden seiner Untersuchungen auszudehnen auf birationale Substitutionen, welche zwei Reihen von drei homogenen Variabeln \(x_i\), den Coordinaten eines Punktes, und \(u_i\), den Coordinaten einer Geraden einer Ebene, enthalten.
Es sei \[ s=\left|\begin{matrix} x_i & \varphi_i(\overset {a} x, \overset {b} u) \\ u_i & \psi_i(\overset {c} x, \overset {d} u) \end{matrix}\right|= \left\{\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right\} \] eine solche Substitution, in welcher \(\varphi_i\) und \(\psi_i\) Ausdrücke bedeuten, welche die \(x_i\) und \(u_i\) in den durch die ganzen positiven Zahlen \(a,b,c,d\) gegebenen Ordnungen enthalten. Diese Substitution heisst birational, wenn: \[ \gamma x_i=\theta_i(\overset{a'} y, \overset{b'} v),\quad \delta u_i=\eta_i(\overset{c'} y, \overset{d'} v), \] wobei: \[ \alpha y_i=\varphi_i(x,u),\quad \beta v_i=\psi_i(x,u), \] \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) Proportionalitätsfactoren und \(\theta_i\) sowie \(\eta_i\) von derselben Natur wie \(\varphi_i\) und \(\psi_i\) sind.
Die Substitution \(s\) ist eine Berührungssubstitution, wenn jedes der zwei Gleichungssysteme: \[ \sum_i u_ix_i=\sum_i u_idx_i=\sum_i x_idu_i=0 \] und \[ \sum_i y_iv_i=\sum_i v_idy_i=\sum_i y_idv_i=0 \] das andere zur Folge hat.
Der Herr Verfasser nennt nun eine Substitution \[ s=\left\{ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right\} \] “Cremoniane” (crémonienne), wenn sie birational und zugleich Berührungssubstitution ist.
Sind zwei Cremonianen gegeben: \[ s=\left| \begin{matrix} x_i & \varphi_i(x,u) \\ u_i & \psi_i(x,u) \end{matrix} \right|,\quad s'=\left| \begin{matrix} x_i & \varphi_i'(x,u) \\ u_i & \psi_i'(x,u) \end{matrix} \right|, \] so heisst die Substitution: \[ \left| \begin{matrix} x_i & \varphi_i'(\varphi,\psi) \\ u_i & \psi_i'(\varphi,\psi) \end{matrix} \right| \] das Product \(s's\) von \(s'\) in \(s\), und es wird gezeigt, dass alle Cremonianen eine Gruppe bilden, welche “Cremoniane” Gruppe genannt wird. Mit der Construction der quadratischen Cremonianengruppe, in welcher \(a,b,c,d\leqq 2\) sind, beschäftigt sich nun der Herr Verfasser ausschliesslich. Diese Aufgabe ist sehr complicirt, und es wird deshalb zunächst in dem ersten Teile der umfangreichen Arbeit eine einzelne Cremoniane Substitution studirt. Diese wird zurückgeführt auf specielle Substitutionen, für welche eine der Zahlen \(a,b,c,d\) Null oder Eins ist, und in welchem Falle die Cremoniane erhalten wird durch Combination einer Substitution “Cremona” mit der Substitution: \[ \left|\begin{matrix} x_i & u_i \\ u_i & x_i \end{matrix} \right|\,. \] Eine solche specielle Cremoniane wird “Cremonisch” (crémonique) genannt. Die oben genannte Zurückführung gründet sich auf folgenden Satz: “Jede quadratische Cremoniane, welche nicht Cremonisch ist, ist das Product von zwei oder drei Cremonischen. Hierdurch ist zugleich eine Einteilung der zu betrachtenden Substitutionen in zwei Arten gewonnen. Es werden nun diese Substitutionen der Reihe nach aufgestellt und die Fundamentalelemente und Fundamentalconnexe, welche in Bezug auf eine Cremoniane eine ähnliche Rolle spielen, wie die Fundamentalpunkte und Linien bezüglich einer Substitution “Cremona”, aufgesucht.
In dem zweiten Teile der Arbeit zeigt der Herr Verfasser, wie die Cremonianen zusammengesetzt werden können, um eine quadratische Cremoniane Gruppe endlicher Ordnung zu bilden. Es handelt sich zunächst darum, die Bedingungen festzustellen, unter welchen das Product zweier quadratischen Substitutionen wieder quadratisch ist. Dann werden Substitutionen einfacher Art angegeben, aus welchen jede solche endliche Gruppe zusammensetzbar ist. Es zeigt sich hierbei, dass eine solche Gruppe \(G\) holoedrisch isomorph ist einer Gruppe \(G'\) von Substitutionen, welche nur eine Reihe von vier homogenen Variabeln enthält und linear ist. Letztere ist aber nicht allgemeiner Natur.
Ist \(G'\) bekannt, so kann daraus \(G\) abgeleitet werden. Da nun die Construction der allgemeinen linearen quaternären Gruppe endlicher Ordnung noch nicht ausgeführt ist und grosse Schwierigkeiten zu machen scheint, so beschränkt sich der Herr Verfasser auf einzelne specielle Fälle, welche vollständig discutirt werden.

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