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Ueber eine Darstellungsweise der invarianten Gebilde im binären Formengebiete. (German) JFM 19.0114.01

Diese Darstellungsweise, die fruchtbare Anwendungen besonders auf Grundformen von speciellem Charakter gestattet, stützt sich wesentlich auf die nicht homogene Schreibart der Grundformen. Ist \[ f=a_0x^n+ {n \choose 1} a_1x^{n-1}+\cdots +a_n \] und \(f_i=\frac{(n-i)!}{n!} \cdot \frac{d^if}{dx^i}\), so lautet das zu Grunde gelegte Theorem: “Jede homogene und isobare Function \(F\) der \(f_i\) von dem Grade \(g\) und Gewichte \(p\) ist eine Invariante oder Covariante der Form \(f\) von der Ordnung \(m = ng-2p\), sobald sie der Differentialgleichung \[ f_0\;\frac{\partial F}{\partial f_1} + 2f_1\;\frac{\partial F}{\partial f_2} + 3f_2\;\frac{\partial F}{\partial f_3} +\cdots =0 \] genügt”.
Eine invariante Bildung in gewöhnlicher Darstellung kann sofort in der neuen geschrieben werden: man hat nur die \(a_i\) durch die \(f_i\) zu ersetzen.
Das Entsprechende gilt für ein System von Grundformen. Die Einführung der bekannten Differentiationsprocesse \(D, \varDelta\) (wo sich die Differentiationen auf die \(f_i\) zu erstrecken haben) liefert daher Sätze von ähnlichem Typus, wie sie Clebsch mit Bezug auf die \(a_i\) aufgestellt hat.
Eine schöne Anwendung seiner Methode macht der Verfasser auf einen Beweis für den Fundamentalsatz des Cayley-Sylvester’schen Abzählungscalcüls.
Die Methode des Verfassers empfiehlt sich vornehmlich bei solchen Grundformen, die algebraischen Differentialgleichungen genügen und dadurch charakterisirt sind. Als Beispiel dient die Aufstellung der Invariantenkriterien, die erfüllt sein müssen, damit eine binäre Form in eine (endliche) hypergeometrische Reihe, resp. eine Kugelfunction linear transformirbar sei.

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References:

[1] Die genaue Formel findet sich in der citirten Dissertation, pag. 2.
[2] Die Möglichkeit dieser Darstellungsweise der invarianten Gebilde scheint bisher wenig beachtet oder verwerthet zu sein, vergl. jedoch Faà di Bruno, Theorie der binären Formen, deutsch bearbeitet von Th. Walter § 14, 11.–Neuerdings veröffentlicht Brioschi in diesen Annalen Bd. 29 einen Satz, welcher aus dem obigen, bereits in der citirten Dissertation anfgestellten Theorem unmittelbar folgt, wenn man darin an Stelle der willkürlichen Variablenx den Werth irgend einer Wurzel der Gleichungf=0 einführt. Wie Brioschi an Beispielen zeigt, findet dieser Satz eine nützliche Verwendung zur algebraischen Transformation jener Gleichungf=0.–Uebrigens gilt ein analoges Theorem auch für ternäre, quaternäre etc. Grundformen, deren Invarianten und Covarianten als Function der Differentialquotienten nach zwei, drei, etc. Variablen darstellbar sind.
[3] Vergl. Salmon, Algebra der linearen Transformationen. Art. 143–147.
[4] In diesem Theorem ist zugleich als specieller Fall das Lemma enthalten, welches kürzlich S. Gundelfinger in der Abhandlung ”Zur Theorie der binären Formen” Crelles Journal Bd. 100, pag. 413 mittheilt.
[5] Auf dem erwähnten Umstande beruht die Beweismethode in der citirten Abhandlung von S. Gundeltinger.–Vergl. ferner die Note des Verfassers: ”Ueber die nothwendigen und hinreichenden covarianten Bedingungen für die Darstellbarkeit einer binären Form als vollständige Potenz.” Mathematische Annalen Bd. 27, pag. 158.
[6] Vergl. Sylvester, Sur les actions mutuelles des formes invariantives dérivées. Crelles Journal, Bd. 85, pag. 89.
[7] Ueber binãre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst. Mathematische Annalen Bd. 9.–Vergl. andererseits: Gordan, Ueber Formen mit verschwindenden Covarianten. Mathematische Annalen Bd. 12.
[8] Vergl. Salmon, Algebra der linearen Transformationen, Art. 251, 252, 253.
[9] Vergl. die Cayleysche Tabelle für die Invarianten und Covarianten der Grundform 5ter Ordnung. Salmon, Algebra der linearen Transformationen, Art. 232. Nr. 10 und 11.
[10] Vergl. die anfangs citirte Dissertation des Verfassers, pag. 17 und 28, wo diese Rechnung für die allgemeine Kugelfunction der 5ten und der 6ten Ordnung im Wesentlichen durchgeführt ist.
[11] Betreffs weiterer den Kugelfunctionen allein zukommenden invarianten Eigenthümlichkeiten vergl. die citirte Dissertation, pag. 15, 16, 18, 26.
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