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Untersuchung der ganzen algebraischen Zahlen eines gegebenen Gattungsbereiches für einen beliebigen algebraischen Primdivisor. (German) JFM 19.0068.01

Ein Hauptzweck der Arbeit ist der, die von Herrn Kronecker in seiner Festschrift aufgestellten Begriffe des Gattungsbereiches, der Gattung und des Fundamentalsystems in der Weise zu fassen, dass sie ihre Bedeutung und ihre wesentlichen Merkmale auch dann noch beibehalten, wenn man die ganzen algebraischen Zahlen nur in Beziehung auf einen beliebigen algebraischen Primdivisor betrachtet. Wenn \(P_1\) ein solcher Primdivisor von \(p\) für den Gattungsbereich \((\mathfrak G)\) ist, dann lässt sich eine Zahl \(k\) so bestimmen, dass für jede ganze algebraische Zahl \(w\) von \((\mathfrak G)\) stets \(w^{p^k}\equiv w\) (mod. \(P_1\)). wird. Aus jedem Fundamentalsystem von \((\mathfrak G)\) lassen sich dann \(k\) Zahlen \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k\) auswählen, die für \((\mathfrak G)\) (mod. \(P_1\)) ein Fundamentalsystem bilden. Die \(p^k\) incongruenten Zahlen mod. \(P_1\) kann man in Gattungsbereiche \((\varGamma_h)\) und Gattungen \(\varGamma_h\) einteilen, indem man alle die zusammenfasst, für welche schon \(w^{p^kh}\equiv w\) (mod. \(P_1\)) bei \(k_h < k\) ist, resp. für welche \(k_1\) den kleinsten Exponenten angiebt, der jene Congruenz befriedigt. Auch für \(\varGamma_h\) lässt sich ein Fundamentalsystem herstellen, die Anzahl der zu \(\varGamma_h\) gehörigen Zahlen bestimmen, und die Congruenz angeben, welcher gerade diese Zahlen genügen. Die Zahlen von \(\varGamma_h\) zerfallen in weitere Klassen, je nach dem niedrigsten Exponenten \(\sigma_h^{(\gamma)}\), für welchen \(w^{\sigma_h^{(\gamma)}}+1\equiv w_1\) (mod. \(P_1\)) wird, und die Anzahl dieser Klassen wird bestimmt. Endlich teilen sich die Zahlen einer Klasse in Gruppen von je \(k_h\) Gliedern, welche den von einander verschiedenen \(p^{\mathrm ten}\) Potenzen einer beliebigen unter ihnen congruent sind; die Elemente einer solchen Gruppe sind die Wurzeln einer im Bereiche \((\mathfrak G)\) irreductiblen Congruenz mod. \(P_1\) mit reellen Coefficienten. Für \((\varGamma_h)\) und den Modul \(P_1\) bilden diese Zahlen ein Fundamentalsystem. Zum Schluss wird eine Reihe von Sätzen abgeleitet, welche das Verhältnis verschiedener Gattungen und ihrer Ordnungszahlen zu einander behandeln und den entsprechenden Resultaten der Algebra völlig analog sind.

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Full Text: Crelle EuDML