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Sur un problème de potentiel. (French) JFM 18.0927.02

Nouv. Ann. (3) V. 483-488 (1886).
Um den Punkt \(P\) seien zwei concentrische Kreise beschrieben und in denselben zwei parallele und gleiche Sehnen gezogen, deren Mitten \(C\) und \(C'\) seien. Denkt man diese Sehnen mit Massen von der Dichtigkeit 1 belegt, so gilt für die Werte, welche die Potentiale \(U\), \(U'\) dieser Massen im Punkte \(P\) annehmen, die leicht abzuleitende Gleichung \[ \left( e^{\frac U 2} - e^{- \frac U 2} \right) : \left( e^{\frac {U'} {2}} - e^{-\frac {u'} {2}} \right) = \frac {1} {PC} : \frac {1} {PC'} . \] Transformirt man die Figur mittels reciproker Radien von \(P\) aus, so gehen die gegebenen concentrischen Kreise in zwei andre concentrische Kreise, die parallelen Sehnen in Bogen zweiter sich in \(P\) berührender Kreise über, und zwar in die Bogen, die ausserhalb der letztgenannten concentrischen Kreise liegen. Denkt man nun die so erhaltenen Kreisbogen ebenfalls mit Masse von der Dichtigkeit 1 belegt, so haben die Potentiale dieser Bogen in \(P\) dieselben Werte \(U\), \(U'\) wie die Potentiale der obigen Geraden, wie überhaupt entsprechende Bogen von Curven, die durch Transformation mittels reciproker Radien aus einander entstehen, im Pol gleiche Werte des Potentials ergeben. Zugleich verhalten sich die Radien der mit Masse belegten Bogen wie \( \frac {1} {PC} : \frac {1} {PC'}\).
Damit ist die Aufgabe, zwei sich in \(P\) berührende und ausserdem durch je einen Punkt \(O\) resp. \(O'\) gehende Kreise zu beschreiben, deren ausserhalb zweier gegebener um \(P\) geschlagener concentrischer Kreise liegende Bogen in \(P\) Potentialwerte \(U\), \(U'\) ergeben, die der obigen Bedingung genügen, auf die elementare Aufgabe zurückgeführt: durch zwei Punkte \(O\), \(O'\) parallele Linien zu ziehen, die in zwei gegebenen concentrischen Kreisen gleiche Sehnen abschneiden. Die Construction dieser Aufgabe und die Bedingungen für die Möglichkeit derselben werden abgeleitet.
Full Text: EuDML