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Recherches sur les groupes d’ordre fini contenus dans le groupe Cremona. Deuxième mémoire: Groupes cubiques. (French) JFM 18.0655.02

In einer früheren Arbeit (Jordan J. (4) I, F. d. M. 1885. 792, JFM 17.0792.01) hat der Verfasser die Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, welche in den quadratischen Cremona’schen Gruppe enthalten sind, vollständig dargestellt. In der vorliegenden Arbeit werden die endlichen Gruppen, welche in der kubischen Gruppe enthalten sind, untersucht. Diese Gruppe wird ausschliesslich von linearen, quadratischen und kubischen Substitutionen gebildet. Es sei \[ S=|z_i\; \varphi_i(z_1,z_2,z_3)| \quad (i=1,2,3) \] eine kubische Substitution, dann hat die allgemeine Curve des Netzes \[ \varphi =u_1\varphi_1+u_2\varphi_2+u_3\varphi_3 \quad (u_i=\text{const.}) \] einen von den \(u_i\) unabhängigen festen Doppelpunkt \(\omega\) und vier gleichfalls feste einfache Punkte. \(\omega\) und diese letzten vier Punkte sind die Fundamentalpunkte von \(S\).
Der Verfasser beschränkt sich hier darauf, solche kubischen Gruppen zu bestimmen, bei welchen erstens keine Substitution der Gruppe zwei unendlich nahe Fundamentalpunkte hat und zweitens der Punkt \(\omega\) derselbe für alle kubischen Substitutionen der Gruppe ist.
Es wird zunächst in dem ersten Teile das wichtige Theorem bewiesen: “Eine kubische Gruppe \(G\) endlicher Ordnung ist isomorph einer linearen Gruppe \(\varSigma\) endlicher Ordnung für zwei homogene Variabeln.” \(\varSigma\) heisst die Directionsgruppe (Groupe directeur) von \(G\). Diejenige Gruppe \(\varGamma\), welche in \(G\) enthalten ist und der Einheitssubstitution von \(\varSigma\) entspricht, heisst die Normalgruppe von \(G\).
Der zweite Teil der Arbeit enthält die vollständige Theorie der Normalgruppen. Es giebt deren sieben verschiedene Typen, welche alle aufgestellt werden.
In dem dritten Teile wird nach der Natur der Directionsgruppe \(\varSigma\) gefragt, wenn \(\varGamma\) der Reihe nach den sieben vorher bestimmten Typen angehört, und es werden die von Herrn Jordan (Kronecker J. LXXXIV) aufgezählten linearen Gruppen endlicher Ordnung den Typen der Normalgruppe zugeteilt.
In dem vierten Teile werden besondere Fälle, die “normolinearen” Gruppen behandelt. Eine solche Gruppe \(G\) geht hervor aus der Zusammenstellung einer Normalgruppe \(\varGamma\) mit einer linearen Gruppe \(L\) dreier homogenen Variabeln. Solcher normolinearen Gruppen giebt es ebenfalls sieben Typen.
Um das Studium der kubischen Gruppen endlicher Ordnung abzuschliessen, würde es nötig sein auch zu untersuchen, wie die vorhergehenden Betrachtungen sich modificiren, erstens, wenn zwei der Fundamentalpunkte einer Substitution unendlich nahe rücken, und zweitens, wenn der Punkt \(\omega\) nicht für alle Substitutionen der Gruppe der nämliche ist.

Citations:

JFM 17.0792.01
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Full Text: EuDML