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Sur le coefficient du terme général dans certains développements. (French) JFM 18.0221.03

Bezeichnet man die Summe: \[ a^{n+2}(b^m + c^m)^r (b-c) + b^{n+2} (c^m + a^m)^r (c-a) +c^{n+2}(a^m+ b^m)^r(a-b) \] durch \(\sum a^{n+2} (b^m + c^m)^r (b-c)\), so ist: \[ \text{(I)}\qquad \sum a^{n+2} (b-c) = kh_n, \] wo \[ h_n = \sum a^{\lambda} b^{\mu} c^{\nu}(\lambda + \mu + \nu = n);\quad k= \sum a^2 (b-c) \] ist. Der Beweis beruht darauf, dass das Product \[ \frac{1}{1-ax}\;\frac{1}{1-bx}\;\frac{1}{1-cx} \] auf zwei verschiedene Arten nach steigenden Potenzen von \(x\) entwickelt wird und die Coefficienten von \(x^n\) einander gleichgesetzt werden.
Multiplicirt man nun die Gleichung (I) mit: \[ a^4 + b^4 + c^4 =s_4, \] so erhält man: \[ \sum a^{n+2} (b^4 + c^4) (b-c) = k(s_4 h_n - h_{n+4}); \] multiplicirt man diese Gleichung wieder mit \(a^4 + b^4 + c^4 =s_4\), das Resultat wieder und so fort, so erhält man: \[ \text{(II)}\qquad \frac{\sum a^{n+2} (b^4 + c^4)^r (b-c)}{k} = \begin{cases} s_4^r - rs_4^{r-1} h_{n+4} + \frac{r(r-1)}{1.2}\;s_4^{r-2} h_{n+8} \\ - \frac{r(r-1(r-2)}{1.2.3}\;s_4^{r-3} h_{n+12} + \cdots + (-1)^r h_n+4r \end{cases} \] Bedeuten nun \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) Wurzeln der Einheit, so ist \(\alpha^n + \beta^n + \gamma^n + \delta^n\) gleich 4 oder 0, je nachdem \(n\) durch 4 teilbar ist oder nicht. Entwickelt man nun sowohl das Product \[ \frac{1}{1- a\alpha x}\;\frac{1}{1- b\alpha x}\;\frac{1}{1- c\alpha x} \] als auch diejenigen, welche sich hieraus ergeben, wenn \(\alpha\) resp. durch \(\beta,\gamma,\delta\) ersetzt wird, steigenden Potenzen von \(x\), so ist der vierte Teil der Summe dieser vier Ausdrücke gleich der Reihe: \[ 1 + h_1x + h_2x^2 + \cdots + h_nx^n + h_{n+4}x^{n+4} + \cdots + h_{n+4r}x^{n+4r} + \cdots; \] andererseits zeigt sich jedoch, dass der vierte Teil dieser Summe gleich \[ B= \frac{1+ B_4x^4 + B_8x^8}{(1-a^4x^4)(1-b^4x^4)(1-c^4x^4)} \] ist, wo \(B_4=s_4 - h_4, B_8=h_8 - s_4h_4\) gesetzt ist. Multiplicirt man die vorstehende Summe und den Quotienten \(B\) mit \((s_4x^4 -1)^r\), so ist unmittelbar ersichtlich, dass der Quotient (II) gleich dem Coefficienten von \(x^{n+4r}\) des Ausdrucks \(B.(s_4x^4 -1)^r\) ist.
Der entsprechende Satz wird allgemein für den Ausdruck: \[ \frac{\sum a^{n+2} (b^m + c^m)^r (b-c)}{k} \] bewiesen. (Korrektur im JFM, wenn \(n\) ein Vielfaches von \(m\) ist.)

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