×

Recherches sur les groupes d’ordre fini contenus dans le groupe Cremona. Prem. Mém. Généralités et groupes quadratiques. (French) JFM 17.0792.01

Den Gegenstand der Abhandlung bilden die birationalen oder Cremona’schen Substitutionen für drei homogene Variable \(z_1,z_2,z_3\), welche eine endliche Gruppe ausmachen. Die Ordnung einer Gruppe ist die grösste Ordnung einer Substitution der Gruppe. Daher wird eine quadratische Gruppe gebildet allein aus linearen und quadratischen Substitutionen, eine kubische Gruppe enthält nur kubische, quadratische und lineare Substitutionen. Nach Aufstellung einiger Sätze über die Fundamentalpunkte einer zusammengesetzten Substitution, geht der Verfasser über zur Bestimmung der quadratischen Gruppen von endlicher Ordnung. Es werden drei Typen derselben aufgestellt.
Erster Typus. Die Gruppe setzt sich zusammen aus einer quadratischen \(\sum\) und drei linearen Substitutionen \(A,B,C\) von folgender Form: \[ A=\begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_1 & z_1 \\ z_2 & z_1-z_2 \\ z_3 & z_1-z_3 \end{vmatrix}, \quad B=\begin{vmatrix} z_1 & z_2 \\ z_2 & z_1 \\ z_3 & z_3 \end{vmatrix}, \quad C=\begin{vmatrix} z_1 & z_2 \\ z_2 & z_3 \\ z_3 & z_1 \end{vmatrix}, \]
\[ \textstyle\sum= \begin{vmatrix} z_1 & z_2z_3 \\ z_2 & z_3z_1 \\ z_3 & z_1z_2 \end{vmatrix} \cdot \] Zweiter Typus: Die Gruppe setzt sich zusammen aus \[ T=\begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_1 & z_1(z_2+\lambda z_3) \\ z_2 & z_2(z_1+\mu z_3) \\ z_3 & z_1z_2 \end{vmatrix} \quad (\lambda,\mu=\text{ const. }) \] und Substitutionen der Form: \[ S=\begin{vmatrix} \l\quad & \l\\ z_1 & (p_1z_1+p_3z_3)(Q_2z_2+Q_3z_3) \\ z_2 & (q_2z_2+q_3z_3)(P_1z_1+P_3z_3) \\ z_3 & (P_1z_1+P_3z_3)(Q_2z_2+Q_3z_3) \end{vmatrix}, \] wobei die Coefficienten \(p, P, q, Q\) so beschaffen sind, dass die lineare Substitution mit zwei Variabeln \[ \begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_1 & p_1z_1+p_3z_3 \\ z_3 & P_1z_1+P_3z_3 \end{vmatrix} \quad \text{und}\quad \begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_2 & q_2z_2+q_3z_3 \\ z_3 & Q_2z_2+Q_3z_3 \end{vmatrix} \] beide von endlicher Ordnung sind.
Dritter Typus: Die Gruppe entsteht aus Substitutionen der Form: \[ \begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_1 & (p_1z_1+p_2z_2)(q_1z_1+q_2z_2) \\ z_2 & (p_1z_1+p_2z_2)^2 \\ z_3 & Rz_1z_3+r_{11}z_1^2+ 2r_{12}z_1z_2+r_{22}z_2^2 \end{vmatrix}, \] wo \(R\) eine Einheitswurzel ist und die lineare Gruppe mit zwei Variabeln \[ \begin{vmatrix}\l\quad & \l\\ z_1 & q_1z_1+q_2z_2 \\ z_2 & p_1z_1+p_2z_2 \end{vmatrix} \] von endlicher Ordnung ist.
Diese Typen werden erhalten mit Hülfe des Satzes: “Je zwei Fundamentaldreiecke der quadratischen Substitutionen müssen zwei gemeinsame Ecken haben”. Dies ist nur möglich auf zwei Arten:
1) Alle Fundamentaldreiecke haben zwei gemeinsame Ecken.
2) Die Ecken aller Fundamentaldreiecke fallen zusammen mit den Ecken eines festen Vierseits, welches das “erzeugende Vierseit” genannt wird.
Die erste Annahme liefert den zweiten Typus, die zweite den ersten. Es werden dann quadratische Substitutionen betrachtet, bei welchen zwei oder drei Ecken des Fundamentaldreiecks sich vereinigen. Im letzten Falle erhält man den dritten Typus.

PDFBibTeX XMLCite