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Sur un problème concernant les équations différentielles linéaires. (French) JFM 17.0285.01

Die Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem, eine lineare homogene Differentialgleichung zu integriren, wenn eine in den Lösungen ganze homogene Function mit constanten Coefficienten als Function der unabhängigen Variabeln bekannt ist. Es liegt hier nahe, mittels fortgesetzten Differentiirens der gegebenen Relation, wobei die höheren Derivirten mit Hülfe der Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung auf solche niederer als \(n^{\text{ter}}\) Ordnung reducirt werden, eine hinlängliche Anzahl von Gleichungen zur Bestimmung der Integrale herzuleiten. Allein von diesem Verfahren wird abgesehen, weil dadurch die Ausnahmefälle nicht hervortreten. Die Methode, die der Verfasser anwendet, beruht auf der Betrachtung der Covarianten algebraischer Formen. Es sei \[ (1)\quad \varGamma(\eta)=\gamma_0\eta^{(n)}+\eta\gamma_1\eta^{(n-1)}+\frac{n(n-1)}{1.2}\;\gamma_2\eta^{(n-2)}+\cdots+\gamma_n\eta=0 \] die vorgelegte Differentialgleichung; \[ (2)\quad G(y)=g_0y^{(n)}+ng_1y^{(n-1)}\frac{n(n-1)}{1.2}\;g_2y^{(n-2)} +\cdots+g_ny=0 \] die zu ersterer adjungirte, so dass \(g_0=\gamma_0\) ist; \(\kappa(\eta_1,\dots,\eta_{n-1})=\kappa(\eta)\) ein in den Lösungen von (1) homogenes Polynom mit constanten Coefficienten vom Grade \(p\), welches als Function der unabhängigen Veränderlichen \(z\) gegeben ist. Nach der bekannten Eigenschaft adjungirter Differentialausdrucke besteht die Relation \[ (3)\quad \eta_k G(y)=B'(y,\eta_k), \] wo \(B'=\frac{dB}{dx}\) und \(B(y,\eta)\) eine bilineare Form in \(y,y',\dots,y^{(n-1)},\eta_k, \eta_k',\dots,\eta_k^{(n-1)}\), bedeutet, die, gleich Const. gesetzt, ein Integral von (1) ist. Offenbar ist dann \[ \chi(B_1, B_2,\dots,B_{n-1})\equiv \chi(B) =\text{Const}., \] wo \(B_k=B(y,\eta_k)\), ebenfalls ein Integral von (2). Als Function von \(y,y',\dots,y^{(n-1)}\) betrachtet und mit \(F\) bezeichnet, ist sie in diesen Grössen homogen und vom \(p^{\text{ten}}\) Grade, und die Coefficienten sind Functionen von \(x\). Der Coefficient von \((y^{(n-1)})^p\) ist \(g_0^p\chi(\eta)\). Aus diesem lassen sich alle übrigen Coefficienten in \(F\) vermöge der Identität \[ g_0F'=G(y)\frac{\partial F}{\partial y^{(n-1)}} \] explicite darstellen, und daher nennt der Verfasser \(\chi(\eta)\) die Quelle (source) des Integrals \(F\). Ein Ausnahmefall, wo \(\chi(\eta)\) nicht hinreicht, das Integral \(F\) zu bestimmen, tritt ein, wenn die Differentialgleichung für die \(p^{\text{ten}}\) Potenzen der Lösungen von (1), der \(\chi(\eta)\) genügt, von niedrigerem Grade als \(\frac{n(n+1)\dots(n+p-1)}{1.2.3\dots p}\) ist, also zwischen den Lösungen \(y\) eine oder mehrere homogene Relationen vom Grade \(p\) mit constanten Coefficienten bestehen. Nach einem Satze des Herrn Darboux ist jede Covariante von \(u^pF\) vom Grade \(q\), dividirt durch \(u^q\), wiederum ein Integral von (2), wo \[ u=e^{-\int\frac{g_1}{g_0}dx}=\frac{1}{\gamma_0}Xe^{\int\frac{\gamma_1}{\gamma_0}dx} \] Ist nun die Covariante linear, so giebt der Coefficient von \(y^{(n-1)}\) dividirt durch \(g_0\), nach Obigem die Quelle dieses Integrals, eine Lösung von (1) ohne jede Quadratur; denn auch \(u\) selbst ergiebt sich ohne Quadratur aus der Bemerkung, dass jede Invariante von \(u^pF\) constant ist. Ausgeschlossen sind hiernach die Fälle, 1) wo der Grad des Polynoms \(\chi(\eta)\) gleich 2 ist, weil alsdann Covarianten von \(F\) nicht existiren; 2) wo die linearen (rationalen oder irrationalen) Covarianten identisch Null sind, oder was auf dasselbe hinauskommt, das Polynom keine “bestimmte” reducirte (canonische) Form besitzt. Im besonderen integrirt der Verfasser die Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung unter der Annahme, 1) dass das Product von drei Lösungen, 2) dass ein solches von vier Lösungen als Function von \(x\) bekannt ist. Als Anwendung des letzteren Falles wird sehr eingehend die Lamé’sche Gleichung behandelt. Endlich wird die Integration der linearen Differentialgleichung \(3^{\text{ter}}\) Ordnung gegeben unter der Voraussetzung., dass eine in den Lösungen kubische ternäre Form als Function von \(x\) bekannt ist. Indem wir für das Nähere auf die Originalarbeit verweisen müssen, bemerken wir noch, dass der Fall, wo die kubische Form das Product von drei Lösungen ist, eine Singularität darstellt, insofern die erforderliche lineare Covariante nicht existirt. Die Integration erfolgt in diesem Falle durch Quadraturen.
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