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Sur les courbes unicursales du quatrième ordre, dont on connaît les trois points doubles et cinq points. (French) JFM 16.0646.01

Nouv. Ann. (3) III. 181-194 (1884).
Zwischen den Coordinaten \(X,\; Y,\; Z,\; X_1,\; Y_1,\; Z_1\) der Brennpunkte eines Kegelschnitts, welcher einem Dreieck, das als Fundamentaldreieck gewählt werden mag, eingeschrieben ist, bestehen bekanntlich die Relationen \[ (1) \qquad XX_1 =YY_1 =ZZ_1. \]
Beschreibt also der eine der Brennpunkte eine Curve, welche der andere Brennpunkt beschreibt, dadurch, dass man die \(X_1,\; Y_1,\; Z_1\) durch die reciproken Werte der \(X,\; Y,\; Z\) ersetzt. Dem Kegelschnitt (Vgl. Salmon, Higher Plane Curves, §§ 283-291) \[ S=AX_1^2 +A'Y_1^2 +A''Z_1^2 +2BY_1Z_1 +2B'Z_1X_1 +2B''X_1Y_1 =0 \] entspricht die Unicursalcurve vierter Ordnung (Curve vierter Ordnung vom Geschlechte Null) \[ U= \frac A{X^2} +\frac {A'}{Y^2} +\frac {A''}{Z^2} +\frac {2B}{YZ} +\frac{2B'}{ZX} +\frac {2B''}{XY} =0, \] deren drei Doppelpunkte mit den Ecken des Fundamentaldreiecks zusammenfallen. Das Entsprechen des Kegelschnitts und der einläufigen Curve vierter Ordnung wird im Einzelnen erörtert vermöge der bei Salmon a. a. O. befindlichen Interpretation der Transformationsformeln (1). Darnach entspricht jedem Punkte \(P_1\) in der Ebene des Fundamentaldreiecks \(A_1A_2A_3\) ein Punkt \(P\) dergestalt, dass die Geraden \(PA_i\) und \(P_1A_i\) mit der Halbierungslinie des Winkels \(A_i\) gleiche Winkel einschliessen. Jeder Geraden \(s\) des einen Systems ist im allgemeinen ein Kegelschnitt \(\varSigma\) des anderen zugeordnet, welcher dem Fundamentaldreieck umschrieben ist. Insbesondere entspricht der unendlich fernen Geraden der dem Fundamentaldreieck umschriebene Kreis, jeder Geraden \(A_iP\) durch einen Eckpunkt von \(A_1A_2A_3\) eine Gerade \(A_iP_1\) (genauer ein Kegelschnitt, der in die Gerade \(A_iP\) und die Seite des Fundamentaldreiecks zerfällt, welche \(A_i\) gegenüberliegt). Diese Beziehungen werden angewandt auf Punktconstructionen der Unicursalcurven vierter Ordnung, die Construction ihrer Tangenten in den Doppelpunkten, ihrer Asymptoten und ihrer sechs Inflexionspunkte, welche aus \(U\) durch die Curve sechster Ordnung \[ \frac {AYZ}{AYZ +B''ZX +B'XY} +\frac {A'ZX}{B''YZ +A'ZX +BXY} \]
\[ +\frac {A''XY}{B'YZ +BZX +A''XY} =0 \] ausgeschnitten werden, eine Curve, welche der Herr Verfasser der Hesse’schen Curve vorzieht.
Den dem Fundamentaldreieck umschriebenen Kegelschnitt, welcher der Geraden \(a_1b_1\) entspricht, und der die zu \(a_1\) und \(b_1\) conjugirten Punkte \(a\) und \(b\) enthält, bezeichne man mit \(\varSigma ab.\) Dann ist dem Schnittpunkte der Geraden \(a_1b_1\) und \(c_1d_1\) der vierte Schnittpunkt der Kegelschnitte \(\varSigma ab \) und \(\varSigma cd\) zugeordnet, und der Tangente von \(S\) in \(a_1\) ein Kegelschnitt \(\varSigma a^2,\) welcher \(U\) in \(a\) berührt. Vermöge dieser Beziehungen lässt sich eine grosse Anzahl Theoreme über Kegelschnitte auf Unicursalcurven vierter Ordnung übertragen; z. B. erhält man: “Es giebt nur eine Unicursalcurve \(U\), welche fünf Kegelschnitte \(\varSigma\) berührt.” Ebenso ergeben sich aus den Sätzen von Pascal und Brianchon die folgenden Theoreme: “Ordnet man sechs Punkte von \(U\) in der Reihenfolge \(a\; b\; c\; d\; e\; f, \) so liegen die vierten Schnittpunkte der drei Gruppen von Kegelschnitten \((\varSigma ab,\;\varSigma de),\;(\varSigma bc, \;\varSigma ef),\;(\varSigma cd,\;\varSigma fa)\) auf einem und demselben Kegelschnitte \(\varSigma\).” “Betrachtet man sechs Kegelschnitte \(\varSigma,\) welche \(U\) berühren, und bezeichnet ihre aufeinander folgenden vierten Schnittpunkte mit 1,2,3,4,5,6, so haben die Kegelschnitte \(\varSigma 14,\;\varSigma 25,\;\varSigma 36\) einen vierten Punkt gemein.”
Dasselbe Transformationsprincip liefert endlich auch den Beweis des schon von Weill gefundenen Satzes: “Die Simson’schen Geraden eines Dreiecks sind die Asymptoten der dem Dreieck umschriebenen gleichseitigen Hyperbeln.” Am Schlusse wird noch auf den Fall eingegangen, dass zwei von den drei Doppelpunkten einer Unicursalcurve conjugirt imaginär sind.
Full Text: EuDML