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Algebraic deduction of the multiplication of \(\text{cos\,am\,}u\). (Algebraische Ableitung der Multiplication von \(\text{cos\,am\,}u\).) (German) JFM 15.0389.01

Setzt man in der Gleichung \[ g(x,y,z)=-k^2x^2y^2z^2 + k^2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) \]
\[ -2xyz + k'^2(x^2 + y^2 + z^2) - k'^2 = 0, \] welche zwischen den 3 Functionen \[ x=\cos\text{am\,}u,\qquad y=\cos\text{am\,}v,\qquad z=\cos\text{am}(u\pm v) \] besteht, \(v=(n-1)u\), so erhält man die beiden Werte \(z=\cos\text{am\,}nu\) und \(z=\cos\text{am}(n-2)u\). Nun sei \[ y=\cos\text{am}(n-1)u=\frac{f_1(x)}{f_0(x)},\quad \cos\text{am}(n-2)u=\frac{g_1(x)}{g_0(x)}, \] wo \(f_1\) und \(f_0\) sowohl, wie \(g_1\) und \(g_0\) ohne gemeinsamen Teiler vorausgesetzt werden. Setzt man dies oben für \(y\) ein, so hat die ganze Function \(f^2_0g\left(x,\frac{f_1}{f_0},z\right)\) keinen von \(z\) unabhängigen Teiler; sie verschwindet für \(z=\frac{g_1}{g_0}\), und der Quotient \[ \frac{f^2_0g\left(x,\frac{f_1}{f_0},z\right)}{g_0z-g_1} \] ist gleich einer linearen ganzen Function von \(z\) von der Form \[ z\varPhi(x)-\Psi(x), \] wo die \(\varPhi(x)\) und \(\Psi(x)\) ganze Functionen von \(x\) ohne gemeinsamen Teiler sind. Ihr Grad wird aus demjenigen von \(f^2_0\left(x,\frac{f_1}{f_0},z\right)\) bestimmt.

MSC:

33E05 Elliptic functions and integrals
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Full Text: Crelle EuDML