×

Notiz über Gleichungen, deren Discriminante ein Quadrat ist. (German) JFM 15.0065.01

Herr Kronecker hatte gelegentlich hervorgehoben, dass die allgemeine arithmetische Aufgabe, alle Gleichungen eines bestimmten Affectes aufzustellen, noch nicht einmal in dem einfachsten Falle, wo es sich um die alternirende Gattung handle, für ein beliebiges \(n\) gelöst sei.
Diesen einfachsten Fall zieht Herr Netto in Betracht. Er sucht also alle Gleichungen (deren Wurzeln als rationale Functionen \(\varphi_{\lambda}(x_1,\; x_2,\ldots ,\; x_n)\) von \(n\) unbestimmten und von einander unabhängigen Variabeln \(x_1,\; x_2,\ldots ,\; x_n\) darstellbar sind), deren Discriminante ein Quadrat wird, in Zeichen, alle Gleichungen: \[ (\varPhi )\quad \varphi^{\varrho}-d_1\varphi^{\varrho -1}+d_2\varphi^{\varrho -2}-\dotsm\pm d_{\varrho}=0, \] deren Discriminante \(D_{\varphi}\) ein Quadrat wird. Dabei sollen die \(d\) rationale Functionen der Coefficienten \(c\) der irreductibeln Gleichung sein \[ (\zeta ) \quad x^n-c_1x^{n-1}+\dotsm\pm c_n=0, \] die einem Bestimmten Rationalitätsbereiche \((\mathfrak{R',R'',R''',...})\) angehören. Dann muss die Galois’sche Gruppe \(\sum\) von \((\varPhi )\) entweder selbst die alternirende Gruppe der \(\varphi_{\lambda}\) sein oder eine Untergruppe derselben. Verfolgt man diese Forderung, so ergiebt sich:
“Die Discriminante \(D_{\varphi}\) ist dann und nur dann ein Quadrat, wenn die Anzahl der Werte von \(\varphi\), welche in denselben beiden Elementen \(x_1,\; x_2\) nicht symmetrisch sind, durch vier teilbar ist.”
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Crelle EuDML