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Geodätische Linien und ihre Enveloppen auf dreiaxigen Flächen zweiten Grades. (German) JFM 14.0689.03

Der Herr Verfasser leitet zunächst die Weierstrass’schen Formeln für eine geodatische Linie ab und bringt dieselben, namentlich auch die dabei auftretenden Constanten, in eine für die Berechnung möglichst bequeme Form. Alsdann teilt er die Resultate einer solchen numerischen Berechnung mit, um ein wirklich durchgeführtes Zahlenbeispicl für die Rechnung mit hyperelliptischen Functionen zu haben. Daran schliessen sich Formeln, welche die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes einer geodätischen I.inie, wclche von einem Nabelpunkte ausgehen, durch einen Parameter darstellen. Der folgende Teil Arbeit schliesst sich eng an eine frühere Arbeit des Verfasser (Clebsch Ann. XIV. 557, s. F. d. M. XI. 1879. 539, JFM 11.0539.01) und an eine Arbeit des Herrn von Mangoldt (Kronecker J. XCI. 23-54, siehe F. d. M. XIII. 1881. 578, JFM 13.0578.01) an. Um festzustellen, bis zu welchem Punkte hin eine geodätische Linie, die von einem gegebenen Punkte ausgeht, die Eigenschaft hat, wirklich Kürzeste zu sein, werden die Enveloppen der geodätischen Linie für das dreiaxige Ellipsoid untersucht, ihre Integralgleichungen angegeben und Grenzen bestimmt, zwischen denen der Berührungspunkt einer geodätischen Linie mit ihrer Enveloppe liegt. Zum Zweck dieser Untersuchungen wird der Begriff der halben Perioden eingeführt und die Gestalt der Enveloppen discutirt. Nach einer Betrachtung der Hauptschnitte wird die analytische Darstellung der Enveloppen durch hyperelliptische Functionen durchgeführt. Die letzten Teile der Arbeit beschätigen sich im Wesentlichen mit demselben Gegenstand, den die citirte Arbeit des Herrn von Mangoldt behandelt. Es handelt sich um die Untersuchung des dreiaxigen zweischaligen Hyperboloids und namentlich der Grenzcurve, welche die Punkte erster und zweiter Art nach der Definition des Herrn von Mangoldt trennt. (Punkte erster Art sind solche, für welche die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, Kürzeste zu sein.) Der Herr Verfasser vervollständigt die einschlägigen Betrachtungen in mehrfacher Beziehung besonders dadurch, dass er jene Grenzcurve wirklich analytisch darstellt. Dies ist der in der Einleitung vom Herrn Verfasser selbst im Wesentlichen dargestellte Gedankengang der Arbeit. Die geometrischen Resultate sind durch mehrere Figuren erläutert.
Eine Mitteilung des Formel-Apparates ist in diesem Referate untunlich. Es genüge die Bemerkung, dass die Rechnung ihren Ausgangspunkt von Krümmungslinienparametern in einer von Liouville gewählten Form nimmt, und dass unter Benutzung det Methode von Weierstrass zur Anwendung des Jacobi’schen Umkehr-Problems auf die Summe der beiden Abel’schen Integrale \((p = 2)\) und der Rosenhain’schen Formeln die Darstellung durch \(\vartheta\)-Functionen erreicht wird. Die Darstellung ist in hohem Grade durch Klarheit und Eleganz ausgezeichnet.

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