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Auszug aus einem Briefe an E. Schering. (German) JFM 13.0114.03

Die erste dieser Arbeiten (JFM 13.0114.02) knüpft an die Abhandlungen des Verfassers vom Februar 1873 und Februar 1878 an. Es handelt sich um die Lösung der Aufgabe, zu zwei ganzen Functionen \(f(x), f_1(x)\) der Grade \(n, n-n_1\) zwei Multiplicatoren \(\varPhi(x),\varPsi(x)\) zu bestimmen, für welche der Grad \(\varrho\) von \[ (C)\quad f_1(x)\varPsi(x)-f(x)\varPhi(x)=F(x) \] kleiner als \(n\) wird. Eine erste allgemeine Methode der Lösung ergiebt sich aus der Kettenbruch-Entwickelung von \(f_1:f\); die hierbei auftretenden Näherungswerte seien \(\varphi_\lambda:\psi_\lambda\), wo \[ \varphi_{k+1}\psi_k-\psi_{k+1}\varphi_k=1 \] ist, und \[ f_1\psi_k - f\varphi_k=f_{k+1} \] heissen soll. Die allgemeinste an Stelle von \(\varPsi\) der Gleichung (C) genügende Function \(\nu^{\text{ten}}\) Grades ist eine beliebige durch \(\psi_k\) teilbare ganze Function \(\varPsi=\theta.\psi_k\), für welche der Grad des Quotienten kleiner als jeder der beiden Abstände von \(\nu\) zu den beiden Grenzen \(n_k-1\) und \(n_{k+1}\) ist, zwischen denen sie liegt, wenn \(n_k\) den Grad von \(\psi_k\) angiebt. Ferner wird \[ \varPhi=\theta.\varphi_k,\;\; F=\theta.f_{k+1}, \] und \(\theta\) ist also von einem Grade \[ <\frac 12 (n_{k+1} - n_k). \] Hierbei ergiebt sich der bisher noch nicht bemerkte Umstand, dass die Cauchy’sche Aufgabe, einen Bruch \(F: \varPsi\) aus den \(n\) Werten \(u_1, u_2, \ldots u_n\) zu bestimmen, welche derselbe für die \(n\) Wurzeln \(\xi_1,\xi_2,\ldots \xi_n\) von \(f(x) = 0\) annimmt, nicht unter allen Umständen lösbar ist.
Weiter kann die Lösung von (C) auch so versucht werden, dass die \(\nu+1\) Coefficienten von \[ \psi(x)=\varSigma\beta_p x^p \] als Unbekannte zu bestimmen sind, während die Grössen \[ c_k=\sum_{h=1}^n \xi_h^k \frac{f_1(\xi_h)}{f'(\xi_h)} \] als bekannt gelten. Definirt man die \(c_k\) durch \[ \frac{f_1(x)}{f(x)} = \sum_0^\infty c_kx^{-k-1}, \] so braucht man die Wurzeln von \(f(x) = 0\) nicht als von einander verschieden anzusehen. Die Lösung giebt \(\varPsi,\varPhi,F\) als Determinanten; dieselbe ist aber keine vollständige, insofern die Ausdrücke für \(\varPsi,\varPhi,F\) zwar als hinreichend, aber noch nicht als notwendig dargetan sind. Eine neue Untersuchung führt die Frage auf die allgemeinste Lösung von \[ (D)\quad \varSigma\beta_pc_{p+q}=0 \quad (p=0,1,\ldots\nu; \; q=0,1\ldots \nu-1) \] zurück, d. h. auf die Bildung der allgemeinsten für die \(2\nu\) Grössen \(c_0, c_1, \ldots c_{2\nu-1}\) bestehenden “linearen Recursionsformel”, welche von Anfang an und mindestens \(\nu\)-mal hintereinander Geltung hat, und deren “Ordnung” daher höchstens gleich \(\nu\) ist. Hierzu werden einige für die Theorie der linearen Gleichungen fundamentale Determinantensätze abgeleitet, und speciell wird die Theorie der Jacobi’schen Determinanten \(|a_{p,q}|\), für welche \[ a_{p,g}=a_{p+g} \] ist, einer eingehenden Behandlung unterworfen. Es stellt sich heraus, dass die allgemeinsten über die \(c_0, c_1, \ldots c_{2\nu-1}\) zu machenden Voraussetzungen folgende sind: Erstens ist \[ |c_{i+k}| \quad\quad (i,k=0,1,\ldots \lambda-1) \] von Null verschieden, und zweitens besteht für die ersten \(\mu+\nu\) Glieder der Reihe \(c\), aber auch nur für diese, eine lineare Recursionsformel \(\lambda^{\text{ter}}\) Ordnung. Es wird nun gezeigt, wie aus, dieser “primitiven” Recursionsformel alle diejenigen “derivirten”, welche \(\nu\)-mal hintereinander gelten, durch lineare Verbindungen abgeleitet werden können. Das Bestehen einer primitiven linearen Recursionsformel \(\lambda^{\text{ter}}\) Ordnung ist characteristisch für die Coefficienten der Entwickelung eines Bruches, welcher in seiner reducirten Form einen Nenner \(\lambda^{\text{ten}}\) Grades hat, und es kann für eine ganz beliebige Reihe von \(2\nu\) Grössen \(c\) der einfachste Bruch bestimmt werden, dessen Entwickelung nach fallenden Potenzen von \(x\) die \(c\) als Coefficienten liefert. Fügt man zu der Determinante \[ |c_{\kappa+\lambda} x-c_{\kappa+\lambda+1}| \quad (\kappa,\lambda=0,1,\ldots m-1) \] als erste Zeile und als erste Colonne die Glieder \[ U,-c_0,-c_1,\ldots -c_{m-1} \] hinzu, wobei \(U\) eine unbestimmte Grösse sein soll, und setzt neue Determinante gleich \( -C^{(m)}(x) + UD^{(m)}(x)\), dann folgt den oben erwähnten Determinantenuntersuchungen \[ (F)\quad C^{(m)}(x) D^{(m-1)}(x) -C^{(m-1)}(x) D^{(m)}(x) = |c_{i+k}|^2 \]
\[ (i,k=0,1,\ldots m-1). \] Ferner wird \[ \varPsi=D^{(\lambda)}(x) E^{(\mu-\lambda)}(x),\quad \varPhi= C^{(\lambda)}(x) E^{(\mu-\lambda)}(x), \]
\[ F=f(x).E^{(\mu-\lambda)} (x) . \sum_t |c_{p+q}| x^{-t-1}, \] wobei \[ p=0,1,\ldots\lambda;\quad q=0,1,\ldots \lambda-1,t;\quad t=\mu+\nu-\lambda+1,\ldots \] wird, während \(E^{(\mu-\lambda)}(x)\) eine beliebige ganze Function vom Grade \(\mu-\lambda\) bedeutet.
Die Vergleichung beider Lösungsmethoden führt zu bemerkenswerten Resultaten. So ergiebt sich, dass \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) die Ordnungszahlen derjenigen Determinanten \[ |c_0|,\quad \begin{vmatrix} c_0, & c_1 \\ c_1, & c_2 \end{vmatrix} ,\quad \begin{vmatrix} c_0, & c_1, & c_2 \\ c_1, & c_2, & c_3 \\ c_2, & c_3, & c_4 \end{vmatrix} , \ldots \] sind, welche von Null verschiedene Werte haben. Ferner wird erstens gezeigt, dass für die \(c\) primitive lineare Recursionsformeln nur von den Ordnungen \(n_1, n_2, n_3,\ldots \) existiren, und zweitens, dass aus jeder primitiven Recursionsformel der Ordnung \(n_k\) abgeleitete der Ordnungen \(n_k+1,n_k+2,\ldots \) gebildet werden können, so lange diese Ordnungen kleiner als \(\frac 12(n_k+n_{k+1})\) bleiben; jede dieser Recursionsformeln der Ordnungen \(n_k,n_k+1,n_k+2,\ldots\) gilt bis zum \((n_k+n_{k+1}-1)^{\text{ten}}\) Gliede der Reihe \(c_0,c_1,c_2,\ldots\). Die Aufstellung aller linearen Recursionsformeln der beliebigen Grössen \(c\) kann man auch direct erledigen, ohne die Auffassung derselben als Entwickelungscoefficienten zu Hülfe zu nehmen.
Schliesslich folgen einige Betrachtungen über Functionen, welche bei ihrer Verwandelung in Kettenbrüche dieselben Teilnenner nur in verschiedener Reihenfolge liefern, und zwar speciell über diejenigen, welche reciproke Entwickelungen ergeben.
Der “Auszug” knüpft an die Arbeit des Herrn K. Heun (Vgl. Abschn. VII. Cap. 2, JFM 13.0392.01) an und giebt eine Einleitung in die oben besprochene Abhandlung.

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