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Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci numbers. (English) Zbl 1231.11080

Das Hauptergebnis der Verff. lautet wie folgt. Es sei \(\beta\in \overline{\mathbb{Q}}^\times, |\beta|<1\) und \(\alpha:=-1/\beta\); weiter sei \(\Phi_r:=\sum_{n\geq1}(\alpha^n-\beta^n)^{-r}\) für \(r\in\mathbb{N}:=\{1,2,\dots \}\) gesetzt. Dann gilt bei paarweise verschiedenen \(s_1,s_2,s_3\in\mathbb{N}: \Phi_{2s_1},\Phi_{2s_2},\Phi_{2s_3}\) sind algebraisch unabhängig genau dann, wenn das Produkt \(s_1s_2s_3\) gerade ist. Als Korollar ergibt sich die algebraische Unabhängigkeit (a.U.) von \(\Phi_{2s_1},\Phi_{2s_2}\) bei verschiedenen \(s_1,s_2\in\mathbb{N}\).
Insbesondere für \(\beta=(1-\sqrt{5})/2\) ergibt sich \(\Phi_{2s}=5^{-s}\sum_{n\geq1} F_n^{-2s}\), wo \(F_n\) die \(n\)-te Fibonacci-Zahl bedeutet. Diesen Fall haben Verff. vorab in [Acta Arith. 130, 37–60 (2007; Zbl 1132.11036)] untersucht.
Zum Beweis ihres Hauptsatzes prüfen Verff., ob die drei in \(\mathbb{Q}[K/\pi, E/\pi,k]\) liegenden Zahlen \(\Phi_{2s_1},\Phi_{2s_2},\Phi_{2s_3}\) algebraisch unabhängig sind oder nicht; dabei bezeichnen \(K\) und \(E\) das vollständige elliptische Integral erster bzw. zweiter Art und \(k\) einen geeignet gewählten Modul der elliptischen Funktionen. Zur Durchführung dieser Prüfung zeigen sie ein Kriterium für a.U. solcher Zahlen. Schließlich leiten sie aus diesem Kriterium hinreichende Bedingungen für die a.U. von \(\Phi_{2s_1},\Phi_{2s_2},\Phi_{2s_3}\) bei geraden \(s_i\) her, wobei sie sich wie in ihrer früheren Arbeit wesentlich auf Nesterenkos Satz über die Ramanujan-Funktionen \(P, Q, R\) stützen. Die restlichen Paritäten der \(s_i\) werden in einer umfangreichen Fallunterscheidung ähnlich abgearbeitet.

MSC:

11J81 Transcendence (general theory)
11J91 Transcendence theory of other special functions
33E05 Elliptic functions and integrals
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers

Citations:

Zbl 1132.11036
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