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Every theory is algebraic and topologic. (Toute theorie est algebraique et topologique.) (French. English summary) Zbl 1214.18005

Summary: We want to explain how any mathematical theory is committed to a pulsation between algebra and topology. 1) Our main aim is to show on one hand how every theory is an algebraic one, according to various notions of an algebraic theory, through sketches and up to figurative algebras, that is to say a question of equations between laws of composition of figures; and on the other hand how every theory is topological or toposical (toposique), that is to say an expression of facts of continuity and a geometrical organisation of these facts (but this approach comes an ambiguity). So we get insights into a possible construction of an algebraic theory similar to the algebraic geometry of Grothendieck. It could be underlined also that on the way we prove two new facts which are essential to our analysis, one of a general nature, and the other which is a rather peculiar observation: 2.1) We lay stress on figurative algebras, and as a by-product we get that: every category of models is the full subcategory of a category of fractions of a category \({\mathcal E}n{\mathcal S}^{{\mathcal E}nsc}\) generated by the representably representable objects. 2.2) We introduce axioms for an “end” operation (opération “bout”) \(B\) on sequences on \([0,1]\) and we get: the continuity of a function \(f:[0,1]\to [0,1]\) is a strict algebraic fact, it is equivalent to the commutation \(B\circ f^N=f\circ B\), for \(B:[0,1]^N\to[0,1]\) an everywhere defined end operation.

MSC:

18C10 Theories (e.g., algebraic theories), structure, and semantics
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Full Text: EuDML

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