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Die trilineare Beziehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden. (German) JFM 12.0454.01

Drei einstufige Grundgebilde \(g, g', g''\) sollen zu einander trilinear heissen, wenn ihre Elemente einen derartigen Zusammenhang haben, dass man erst auf zweien von den drei Grundgebilden je ein Element willkürlich annehmen muss, um dadurch auf dem dritten Grundgebilde ein einziges entsprechendes Element hervorzurufen, und wenn ausserdem dieser Zusammenhang algebraisch ist, d. h. durch eine Gleichung von der Form \[ xx'x'' + ax'x'' + a'x''x + a''xx' + bx + b'x' + b''x'' = C \] dargestellt werden kann, wo \(a, a', a''\), \(b, b', b''\), \(C\) sieben Constante und wo \(x, x', x''\) drei Veränderliche sind, welche beziehungsweise auf den Grundgebilden \(g\), \(g'\), \(g''\) die Lage der veränderlichen Elemente bestimmen. Der einfachste Fall einer trilinearen Beziehung entsteht auf drei geraden Punktreihen dadurch, dass man ausserhalb derselben einen festen Punkt annimmt und als zusammengehörig immer solche drei Punkte betrachtet, deren Verbindungsebene durch diesen festen Punkt geht. Liegen insbesondere die Reihen in einer Ebene, so ist die Wahl des festen Punkts beliebig: Drei entsprechende Punkte liegen stets auf einer Geraden, und die Beziehung soll daher geradlinig genannt werden. Sie kann als das Analogon der perspectivischen Lage bei zwei projectivischen Gebilden aufgefasst werden und giebt ebenso wie diese das bequemste Mittel an die Hand, um allgemeinere Beziehungen festzusetzen. Während die projectiven Beziehungen im Allgemeinen Gebilde zweiten Grades erzeugen, führen die trilinearen Beziehungen zu Gebilden dritten Grades. Z. B. erzeugen drei trilineare Ebenenbüschel durch die Schnittpunkte entsprechender Tripel eine Fläche \(3^{\text{ter}}\) Ordnung. Man hat die August’sche Erzeugungsweise vor sich. In jeder trilinearen Beziehung giebt es sechs singuläre Elemente, \[ \begin{aligned} p, q & \text{ auf }g\\ p', q'& \text{ auf }g'\\ p'', q''& \text{ auf } g'',\end{aligned} \] welche sich derart zu sechs singulären Paaren \[ \begin{aligned} & pq', p'q'', p''q,\\ & qp', q'p'', q''p\end{aligned} \] gruppiren, dass einem Paar alle Punkte der dritten Geraden entsprechen. Diese sechs Punktpaare und ein beliebig anzunehmendes Tripel \(a, a', a''\) bestimmen die trilineare Beziehung, ein jedes weitere Tripel \(b, b', b''\) wird aus der Doppelverhältnisgleichung \[ (p q ab)\cdot (p' q' a' b')\cdot (p''q'' a'' b'') = 1 \] erhalten. Im Allgemeinen müssen \(n\) Tripel und \(7-n\) singuläre Paare zur Bestimmung gegeben sein, doch ist diese dann nicht immer eine eindeutige, wie bei der angegebenen Annahme. Mit Hülfe der geradlinigen Beziehung, deren Kennzeichen zunächst entwickelt werden, gewinnt der Verfasser dann lineare Constructionen neuer Tripel entsprechender Elemente und damit insbesondere die Erzeugung einer Fläche \(3^{\text{ter}}\) Ordnung, deren Zahl sich als neunzehn ergiebt und sie als punkt-allgemein erkennen lässt.
Schliesslich werden noch drei ausgeartete trilineare Beziehungen von der Constantenzahl sechs untersucht, welche aus speciellen Lagen der Träger einer zu Grunde gelegten geradlinigen Beziehung hervorgehen. Sie führen bez. zu einer Fläche dritter Ordnung mit drei \(C_2\), einer Fläche zweiter Ordnung in Verbindung mit einer Ebene und drei Ebenen. Als Constantenzahl dieser Gebilde ergiebt sich folglich achtzehn, und so entspringen aus den Definitionen der drei ausgearteten trilinearen Beziehungen die genauen Definitionen der angeführten Ausartungen der punktallgemeinen Fläche dritter Ordnung.

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