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On functions with a 1-dimensional singular locus. (Sur les fonctions à lieu singulier de dimension 1.) (French) Zbl 1185.32019

It is shown that the results of the author’s earlier paper [J. Algebr. Geom. 17, No. 2, 199–254 (2008; Zbl 1138.32015)] apply without restriction to any holomorphic function germ \(f:({\mathbb C}^{n+1},0)\to ({\mathbb C},0)\) whose singular locus is of dimension \(1\). Previously the fibres were required to be equisingular away from \(0\), which is quite restrictive although it holds for quasihomogeneous germs. To remove the restriction, the author proves a technical analytic continuation result about the kernel and cokernel of a certain connection on the cohomology sheaves of some formal De Rham complexes.

MSC:

32S25 Complex surface and hypersurface singularities
32S40 Monodromy; relations with differential equations and \(D\)-modules (complex-analytic aspects)
32S50 Topological aspects of complex singularities: Lefschetz theorems, topological classification, invariants

Citations:

Zbl 1138.32015
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References:

[1] 1. -On se propose d’étudier le cas où f (t, x) = P (x) + t.Q(x) avec P et Q deux germes de fonctions holomorphes à l’origine de C n .
[2] Lemme 4.3.1. -Supposons P à singularité isolée à l’origine et supposons que l’on ait M k+1 .J(Q) ⊂ M k+1 .J(P ) pour un entier k ≥ 0, où M désigne l’idéal maximal de l’origine dans C n . Alors on a M k+1 .J / (f ) = M k+1 .J(P ) où M désigne l’idéal engendré par M dans O C n+1 .
[3] Si on a de plus Q ∈ M.J(Q), ce qui est vérifié en particulier si Q est quasi homogène, on obtiendra l’inclusion M k . ∂f ∂t ⊂ M k+1 .J / (f ) et la proposition précédente donnera que M k ⊂ G sur S = {x = 0} au voisinage de l’origine. X |f | 2λ », Bull. Soc. Math. France 114 (1986), p. 247-269.
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