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A lower bound for the error term in Weyl’s law for certain Heisenberg manifolds. (English) Zbl 1184.11039

Es sei \(M\) eine geschlossene \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer Metrik \(g\) und dem Laplace-Beltrami Operator \(\Delta\). Dann interessiert das Verhalten von \[ N(t)=\sum d(\lambda), \] wenn über die Eigenwerte \(\lambda\leq t\) von \(\Delta\) summiert wird, für große \(t\). \(d(\lambda)\) bezeichnet dabei die Dimension des zu \(\lambda\) gehörenden Eigenraums. Es ist interessant, dass das Problem der Abschätzung von \(N(t)\) oftmals in ein Gitterpunktproblem, Abschätzung der Anzahl der Gitterpunkte in großen geschlossenen Bereichen, überführt werden kann.
Behandelt wird hier das Weylsche Gesetz für die Zählfunktion \(N(t)\), bezogen auf gewisse rationale \((2l+ 1)\)-dimensionale Heisenbergsche Mannigfaltigkeiten. Die vorhandenen Abschätzungen für den Rest \[ R(t)= N(t)-{\text{vol}(M)\over (4\pi)^{\ell+1/2}\Gamma(1+{3\over 2})} t^{\ell+ 1/2} \] legen die Vermutung nahe, dass \(R(t)\ll t^{\ell-1/4+ \varepsilon}\) mit \(\varepsilon> 0\) nicht unterboten werden kann. Tatsächlich beweist der Autor das Resultat \[ R(t)= \Omega(t^{\ell-1/4}(\log t)^{1/4}). \]

MSC:

11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
11P21 Lattice points in specified regions
58J50 Spectral problems; spectral geometry; scattering theory on manifolds
11F72 Spectral theory; trace formulas (e.g., that of Selberg)
35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
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Full Text: DOI arXiv