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Comparison between crystalline cohomology and \(p\)-adic étale cohomology on certain Shimura varieties. (Comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie étale \(p\)-adique sur certaines variétés de Shimura.) (French) Zbl 1183.14036

Soit \(X\) un modèle entier \(p\)-adique d’une variété de Shimura de type PEL associé à un groupe réductif \(G\) en une place de bonne réduction. Cet article utilise des théorèmes de comparaison de la théorie de Hodge \(p\)-adique entre la cohomologie étale \(p\)-adique et log-cristalline (pour des variétés propres) pour démontrer des théorèmes de comparaison entre la cohomologie étale (sur la fibre générique) du système local associé à une représentation \(V\) du groupe \(G\), et la cohomologie log-cristalline d’une extension du cristal associé à \(V\) via une compactification appropriée de \(X\). N.B. La construction de ces compactifications de \(X\) et, plus récemment, des variétés de Kuga-Sato associées, a été annoncée par K.-W. Lan (“Toroidal compactifications of Kuga families of PEL-type”, draft), et elles étaient déjà connues dans les deux cas considérés par l’auteure: les groupes unitaires \(G(m,n)\) déployés et les groupes symplectiques \(GSp(2n)\). Des restrictions standard provenant des théorèmes de comparaison de la théorie de Hodge \(p\)-adique limitent les représentations de \(V\) auxquelles cette méthode s’applique. L’auteur définit la notion cruciale de représentation atteignable, qui est la restriction la plus particulière à cet ouvrage, et qui décrit les représentations de \(G\) provenant de faisceaux dont la cohomologie peut être découpée par des correspondances algébriques dans la cohomologie de la variété abélienne universelle. La catégorie associée est précisée pour le groupe unitaire \(G(m,n)\) (le cas Siegel \(GSp(2n)\) étant déjà connu). Cette description précise n’est pas connue en général (même pour \(Res_{F/Q} GL(2)\), \(F\) un corps totalement réel).

MSC:

14G35 Modular and Shimura varieties
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14F20 Étale and other Grothendieck topologies and (co)homologies
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