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Oscillationen einer homogenen Flüssigkeitsmasse in Folge ihrer Oberflächenspannung. (German) JFM 11.0684.02

Eine Flüssigkeitsmasse, die der Wirkung der Schwere entzogen ist, steht nur unter dem Einfluss der Oberflächenspannung \(Q\), deren bekannter Werth \[ Q+K +\alpha \left( \frac{1}{R_1} +\frac{1}{ R_2} \right) \] ist. Es habe ein Punkt, dessen ursprüngliche Coordinaten im Ruhezustande \(x_0, y_0, z_0\) sind, zur Zeit \(t\) die Coordinaten \[ x= x_0 +\xi, \quad y= y_0 =\eta, \quad z= z_0 +\zeta . \] Das Princip der virtuellen Arbeit giebt dann, wenn \(\delta x, \delta y, \delta z\) die virtuellen Verschiebungen eines Flüssigkeitstheilchens \(dk\) sind, während \(\delta n\) die normale Verschiebung des Oberflächenelements \(ds, \varrho\) die Dichtigkeit ist: \[ -\varrho \int \left\{ \frac{ \partial ^2 \xi }{ \partial t^2} \delta x +\frac{ \partial^2 \eta}{ \partial t^2} \delta y +\frac{ \partial^2 \zeta}{ \partial t^2} \delta z\right\} dk -\int Q \delta n ds =0. \] Zugleich erfordert die Bedingung der Incompressibilität, dass \[ \int \delta n ds =0. \] Der Verfasser nimmt nun an, dass \[ \xi =\mu_1 x_0 \sin \frac{ 2\pi t}{ T} , \quad \eta =\mu_2 y_0 \sin \frac{ 2\pi t}{T} \]
\[ \zeta =-( \mu_1 +\mu_2) z_0 \sin \frac{ 2\pi t}{T} \] und betrachtet \(\mu_1\) und \(\mu_2\) als kleine Grössen, deren Quadrate vernachlässigt werden, so dass bei dieser Näherung zugleich \(x \delta x\) an Stelle von \(x_0 \delta x\) gesetzt werden kann etc. Dadurch und durch Reduction des Raumintegrals auf ein Flächenintegral folgt, dass in jedem Punkte der Oberfläche sein muss: \[ (\text{A.}) \qquad \frac 12 \varrho \left(\frac{ 2\pi}{T}\right)^2 \sin \frac{ 2\pi t}{T} [ \mu_1 x^2 +\mu_2 y^2 -(\mu_1 +\mu_2) z^2] -\alpha \left( \frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} \right) = \; \text{Const.} \] Weiter wird für das Ellipsoid, das bei der obigen Annahme über \(\xi, \eta, \zeta\) zur Zeit \(t\) die Oberfläche der ursprünglich kugelförmigen Flüssigkeit bildet, \(\frac{1}{R_1} +\frac{ 1}{R_2}\) berechnet. Die Erfüllung der Bedingungsgleichung (A.) erfordert dann: \[ (\text{B.}) \qquad T= \pi R \sqrt{ \frac{ \varrho R}{ 2 \alpha} }, \] wenn \(R\) der Radius der Kugel ist, welche die Flüssigkeit im Gleichgewicht bildet. Damit ist gezeigt, dass unter den möglichen kleinen Bewegungen, welche eine nur ihrer Oberflächenspannung unterworfene Flüssigkeitsmasse ausführen kann, sich auch regelmässige Oscillationen von der Schwingungsdauer \(T\) befinden, bei denen die Oberfläche der Flüssigkeit stets die Gestalt eines Ellipsoids behält.

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