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Descent on fibrations over P\(^1_k\) revisited. (English) Zbl 1024.14003

Summary: Soient \(k\) un corps de nombres et \(f:X\to\mathbb{P}^1_k\) un \(k\)-morphisme surjectif de \(k\)-variétés projectives lisses, à fibre générique géométriquement intègre. Supposons que les fibres de \(f\) au-dessus d’un sous-ensemble Hilbertien de \(\mathbb{P}^1(k)\) satisfont le principe de Hasse (respectivement le principe de Hasse et l’approximation faible). Supposons que toutes les fibres géométriques de \(f\) ont au moins une composante de multiplicité un. Le rang de \(f\) est la somme des degrés des points fermés \(P\) dont la fibre \(X_P=f^{-1}(P)\) ne possède pas de composante de multiplicité un géométriquement intègre. Supposons le rang au plus égal à 2. Alors l’obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse (respectivement à l’approximation faible) sur \(X\) est la seule. Dans des articles antérieurs nous n’avions obtenu ce résultat que sous des hypothèses plus fortes sur la nature des fibres. Le présent énoncé, obtenu grâce à une descente sur des variétés ouvertes, permet d’étudier des variétés données par des équations affines simples, sans calcul explicite d’un modèle projectif et lisse.

MSC:

14D06 Fibrations, degenerations in algebraic geometry
14N05 Projective techniques in algebraic geometry
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
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