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Sharp estimates for the arithmetic Nullstellensatz. (English) Zbl 1010.11035

Ce grand texte est consacré à la démonstration d’un résultat tout-à-fait remarquable, les auteurs y établissent un théorème des zéros de Hilbert dans \(\mathbb{Z}[X_1, \dots,X_n]\) comprenant des estimations des degrés et hauteurs des polynômes exhibés, optimales en les paramètres essentiels. Plus précisément, soit \(f_1,\dots, f_s\in \mathbb{Z} [X_1, \dots, X_n]\) sans zéro commun dans \(\mathbb{C}^n\). Posons \(d=\max_i d^\circ f_i\) et \(h=\max_i h(f_i)\) \((h(f)\) désigne le maximum des valeurs absolues des coefficients de \(f\in\mathbb{Z} [X_1,\dots, X_n])\), alors il existe \(a\in\mathbb{Z} \setminus \{0\}\), \(g_1,\dots, g_s\in\mathbb{Z} [X_1,\dots, X_n]\) tels que: \[ a=g_1 f_1+ \cdots+ g_sf_s, \] \(d^\circ g_i\leq 4nd^n\) et \(|a|\), \(h(g_i)\leq 4n (n+1)d^n(h+d (n+7)\log(n+1) +\log(s))\).
Les auteurs donnent également un exemple dans lequel on a nécessairement \(s=n\), \(d^\circ g_i\geq d^n-d\) et \(|a|\geq d^nh\). De nombreux travaux ont été consacrés à l’étude effective du théorème des zéros, citons G. Hermann, D. Brownawell, L. Canaglia, A. Galligo et J. Heintz, J. Kollár, N. Fitchas et pour l’aspect arithmétique C. Berenstein et A. Yger, T. Krick et L. M. Pardo, ainsi que l’auteur de ces lignes.
La démonstration fournit également un résultat avec les termes \(d^n\) et \(d^n(h+d)\) dans les bornes ci-dessus remplacés par \(d\delta\) et \(d(\eta+h \delta+ d\log(s (d+1)))\) respectivement, où \(\delta\) et \(\eta\) désignent les degré et hauteur d’une intersection complète d’hypersurfaces prises dans le pinceau engendré par \(f_1,\dots, f_s\). Un corollaire de cette extension est un théorème des zéros effectif pour des formes “creuses”, beaucoup plus précis que le résultat général cité ci-dessus, dans lequel les quantités \(d^n\) et \(d^n(h+d)\) sont remplacées par \(d{\mathcal V}\) et \(d{\mathcal V}(h+d \log(s(d+1)))\) respectivement, où \({\mathcal V}\) désigne le volume de l’enveloppe convexe dans \(\mathbb{R}^n\) de l’ensemble des exposants des monômes apparaissant dans l’écriture de tous les \(f_i\).
Le cœur de la démonstration de tous ces réultats est un théorème de division modulo les intersections complètes, effectif et reposant lui-même sur une formule des traces algébrique.

MSC:

11G35 Varieties over global fields
13P10 Gröbner bases; other bases for ideals and modules (e.g., Janet and border bases)
14Q20 Effectivity, complexity and computational aspects of algebraic geometry
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Full Text: DOI arXiv