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Ueber die Charakteristik von Functionen-Systemen. (German) JFM 10.0054.02

Die Frage nach der Aenderung der Charakteristik (vgl. Berl. Ber. 1869, 4. März. F. d. M. II. 203, JFM 02.0203.02), welche Herr Kronecker im Falle von 2 Functionen im fünften Paragraphen seiner Abhandlung über Sturm’sche Reihen (vergl. das vorhergehende Referat p .53, JFM 10.0051.01) behandelt hatte, wird hier für \(n+1\) Functionen \(F_{00},F_{10},\dots F_{n0}\) von \(n\) Veränderlichen \(z_1, z_2,\dots z_n\) untersucht. Es zeigt sich, dass nur dann eine Aenderung eintreten kann, wenn bei der Variation der Coefficienten ein System von Functionen passirt wird, welche sämmtlich für ein und dasselbe Werthsystem \(z_1, z_2,\dots z_n\) verschwinden, und zwar nimmt die Charakteristik \(\chi\) um eine Einheit zu oder ab, je nachdem die Determinante \[ --F_{g,h}-- \quad \left(g,h=0,1,\dots n; \, F=\frac{\partial}{\partial z_h}F_{g0} \right) \] aus dem Positiven in’s Negative übergeht oder umgekehrt. Sind die Coefficienten der \(F\) von \(\nu\) Grössen \(x_1, \dots x_{\nu}\) abhängig, so zerfällt das Gebiet der \(x\), je nach dem Werthe von \(\chi\), in Stücke, welche durch \(R(x_1,\dots x_{\nu})=0\) getrennt sind, und beim Durchgang durch \(R=0\) tritt zur Charakteristik der Werth von \[ \left[ --F_{i,k}-- \cdot \partial F_{00}\right] \quad (i,k=1,2, \dots n) \] hinzu, wenn mit \(\delta\) die Veränderung am Punkte \(x_1, \dots x_{\nu}\) bezeichnet und in \(F_{00}, \, F_{ik}\) das den Gleichungen \(F_{g0}=0 \, (g=0,1,\dots n)\) genügende Werthsystem \(z_1,\dots z_n\) eingesetzt wird. Auch hier kann man, wie bei zwei Functionen, falls die \(F\) ganze rationale Functionen der \(z\) sind, die Resultante \(R\) und eine andere ähnlich wie in jenem Specialfall gebildete Function \(R\), auftellen, für welche \([R,\delta R]\) die Aenderung der Charakteristik angiebt. Nimmt man \(n=2m\) und wählt \(m\) rationale ganze Functionen \(f_1,\dots f_m\) und die ihnen conjugirten Functionen \(f_1' \dots f_m'\) von \(m\) complexen Grössen für \(F_{k,0}\, (k=1,\dots n\), so kann man ein \(F_00\) derart wählen, dass im Bereiche \(F_{00}>0\) weder die ursprünglichen, noch die variirten Functionen gleichzeitig Null werden. \(--F_{ik}-- \,(i,k=1,\dots n)\) ist in diesem Falle stets positiv; die Charakteristik wird gleich der Gesammtzahl der gemeinsamen Wurzeln von \(f_1=0, \dots f_m=0\), und variirt man der Art, dass \( m-1\) der Functionen auf ihre Glieder höchster Dimension beschränkt werden, so folgt, dass die Anzahl der Werthsysteme gleich dem Producte der Dimensionen der \(m\) Functionen \(f\) ist, falls man die bezügliche Eigenschaft für den Fall von \(m-1\) complexen Variabeln voraussetzt. Dieser inductive Beweis benutzt also bei völliger Allgemeinheit des Gleichungssystems keinerlei Resultate aus der Theorie der Elimination.

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